Двухуровневое распределение вероятностей как характеристика статистической устойчивости моделей объектов измерений

Рассмотрена задача учёта статистической устойчивости математических моделей объектов измерений, существенным образом влияющей на точность используемых статистических (вероятностных) оценок. Такая задача актуальна, поскольку отсутствует эффективный критерий различения детерминированных и случайных последовательностей. Учёт основан на двухуровневой плотности распределения вероятностей в виде формулы обращения. Числитель формулы характеризует погрешности систематической составляющей гипотетического распределения вероятностей как наблюдаемые отклонения от него статистического распределения данных измерений, а знаменатель – ненаблюдаемые компоненты случайной составляющей. Сходимость ряда повторных измерений является необходимым условием корректности получаемых статистических (вероятностных) оценок. Постановка задачи учёта возможна в связи с тем, что свёртка в виде формулы обращения рассматривается как распределение суммы двух случайных слагаемых, когда второе слагаемое характеризует статистическую устойчивость первого слагаемого. Прямое решение задачи функциональными преобразованиями распределений вероятностей приводит к весьма громоздким результатам. В рамках интерполяционной концепции принято приближение аксиоматикой А. Н. Колмогорова, в котором вероятность представлена положительной действительной случайной величиной, характеризующейся функцией распределения вероятностей – распределением второго порядка. Показатель статистической устойчивости математической модели – вероятность согласия с данными совместных измерений или каппа-критерий воспроизводимости. Установлено, что показатель статистической устойчивости математической модели обобщает статистики критериев согласия А. Н. Колмогорова и Н. В. Смирнова – расстояния между функциями распределения, и содержит расстояние по вариации В. Феллера. Тенденция роста статистики вероятности согласия с увеличением объёма выборки для распределений вероятностей непосредственно характеризует степень статистической устойчивости данных измерений и надёжность логики статистического вывода в измерительных задачах идентификации распределений вероятностей, а также дополняет доверительную вероятность как характеристику качества математических моделей объектов измерений.

1. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM). Sec. ed. BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML, Geneva (1995).

2. Руководство по выражению неопределённости измерения. Перевод с английского ОНТИ ГП «ВНИИМ им. Д. И. Менделеева». Науч. ред. проф. В. А. Слаев. ВНИИМ имени Д. И. Менделеева, Санкт-Петербург (1999).

3. Sundgren D., Karlsson A. Uncertainty levels of second-order probability. Polibits, (48), 5–11 (2013).

4. Nau R. F. Uncertainty aversion with second-order utilities and probabilities. Management Science, 52(1), 136–145 (2006). https://doi.org/10.1287/mnsc.1050.0469

5. Utkin L. V., Augustin T. Decision making with imprecise second-order probabilities. ISIPTA′03, Proc. Third International Symposium on Imprecise Probabilities and Their Applications, Lugano, Switzerland, July 14-17, 2003, рр. 547–561 (2003).

6. Ekenberg L., Thorbi J. Fuzziness and Knowledge-Based Systems. International Journal of Uncertainty, 9(1), 13–38 (2001). https://elibrary.ru/bfognp

7. Gärdenfors P., Sahlin N.-E. Unreliable probabilities, risk taking, and decision making. Decision, Probability and Utility: Selected Readings. Cambridge University Press, ch. 16, pp. 313–334 (1988).

8. Cooman G. D., Walley P. A possibilistic hierarchical model for behaviour under uncertainty. Theory and Decision, 52(4), 327–374 (2002). https://elibrary.ru/bcasgh

9. Zadeh L. A. Fuzzy probabilities. Information Processing and Management, 20, 363–372 (1984).

10. Klir G. J. A principle of uncertainty and information invariance. International Journal of General System, 17(2-3), 249– 275 (1990).

11. Левин С. Ф. Статистический анализ и синтез моделей систем технического обеспечения эксплуатации. МО СССР, Москва (1984).

12. Шень А. Х. Частотный подход к определению понятия случайной последовательности. Семиотика и информатика, 18, 14–42 (1982).

13. Kingman J. F. On double stochastic Poisson processes. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 60(4), 923–930 (1964). https://doi.org/10.1017/S030500410003838X

14. Cox D. R. Some statistical method related with series of events. Journal of the Royal Statistical Society B, 17(2), 129– 164 (1955).

15. Коваленко И. Н., Кузнецов Н. Ю., Шуренков В. М. Случайные процессы. Наукова думка, Киев (1983).

16. Левин С. Ф. Основы теории контроля. МО СССР, Москва (1983).

17. Левин С. Ф. Теоретические основы метрологии. Конспект лекций по дисциплине «Метрология и стандартизация», раздел I. ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, Москва (1995).

18. Röver C., Friede T. Discrete approximation of a mixture distribution via restricted divergence. Journal of Computational and Graphical Statistics, 26(1), 217–222 (2017). https://doi.org/10.1080/10618600.2016.1276840

19. Левин С. Ф. О формате представления неопределённостей при решении измерительных задач. Измерительная техника, (4), 14–22 (2022). https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2022-4-14-22 ; https://elibrary.ru/qyeiva

20. Худсон Д. Статистика для физиков: Лекции по теории вероятностей и элементарной статистике. Пер. с англ. В. Ф. Грушина. Под ред. Е. М. Лейкина. Мир, Москва (1967).

21. Левин С. Ф. Математическая теория измерительных задач: Часть 2. Идентификация интерпретирующих моделей по критерию минимума погрешности неадекватности. Контрольно-измерительные приборы и системы, (4), 11–13 (1999).

22. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. В 2 томах. Т. 2. Пер. с англ. Ю. В. Прохорова. Мир, Москва (1984).

23. Fisher R. A. On the mathematical foundations of theoretical statistics. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, ser. A, 222, 309–368 (1922).

24. Хампель Ф., Рончетти Э., Рауссеу П., Штаэль В. Робастность в статистике: Подход на основе функций влияния. Пер. с англ. под ред. В. М. Золотарёва. Мир, Москва (1989).

25. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Наука, Москва (1968).

26. Box G. E. P. Science and Statistics. Journal of the American Statistical Association, 71(356), 791–799 (1976). http://dx.doi.org/10.1080/01621459.1976.10480949

27. Хьюбер П. Робастность в статистике. Пер. с англ. И. А. Маховой и В. И. Хохлова под ред. И. Г. Журбенко. Мир, Москва (1984).

28. Статистическая идентификация, прогнозирование и контроль РЭА. Методические рекомендации. МО СССР, Москва (1990).

29. Физическая энциклопедия в 5 томах. Гл. ред. А. М. Прохоров. Том 3. Магнитоплазменный – Пойнтинга теорема. Большая Российская энциклопедия, Москва (1992).

30. Левин С. Ф. Идентификация распределений вероятностей. Измерительная техника, (2), 3–9 (2005). https://elibrary.ru/pdxrzv

31. Левин С. Ф., Левин С. С. Контурное оценивание усеченных распределений при решении измерительных задач. Измерительная техника, (1), 10–13 (2008). https://elibrary.ru/mvjwuz

32. Левин С. Ф. Метрологическое аттестование и сопровождение программ статистической обработки данных. Измерительная техника, (12), 16–18 (1991).

33. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Большая Российская энциклопедия, Москва (1999).

34. Левин С. Ф. Метод максимума компактности и комплексные измерительные задачи. Измерительная техника, (7), 15–21 (1995).