Оценивание нелинейного функционала от плотности вероятности при оптимизации непараметрических решающих функций

Предложена методика оценивания нелинейного функционала от плотности вероятности двухмерной случайной величины. Методика актуальна при реализации процедур «быстрого» выбора коэффициентов размытости в задаче оптимизации ядерных оценок плотности вероятности и позволяет значительно повысить вычислительную эффективность непараметрических решающих правил. Основу предлагаемого подхода составляет анализ формулы оптимального коэффициента размытости ядерной оценки плотности вероятности. При этом коэффициент размытости ядерных функций представлен в виде произведения неопределённого параметра и средних квадратических отклонений случайных величин. Основная составляющая неопределённого параметра – нелинейный функционал от плотности вероятности, который для семейства одномодальных симметричных законов распределения определяется видом плотности вероятности и не зависит от параметров плотности. Для семейства двухмерных логнормальных законов распределения независимых случайных величин определены ошибки аппроксимации рассматриваемого нелинейного функционала от плотности вероятности. Исследована возможность применения предложенной методики при оценивании нелинейных функционалов от плотностей вероятностей, отличающихся от логнормальных законов распределения. Проанализировано влияние возникающих ошибок аппроксимации на средние квадратические критерии восстановления непараметрической оценки плотности вероятности двухмерной случайной величины.

1. Лапко А. В., Лапко В. А. Непараметрические алгоритмы оценивания состояний природных объектов // Автометрия. 2018. Т. 54. № 5. С. 33–39. https://doi.org/10.15372/AUT20180504

2. Лапко А. В., Лапко В. А., Им С. Т., Тубольцев В. П., Авдеенок В. А. Непараметрический алгоритм выделения классов, соответствующих одномодальным фрагментам плотности вероятности многомерных случайных величин // Автометрия. 2019. Т. 55. № 3. С. 22–30. https://doi.org/10.15372/AUT20190303

3. Лапко А. В., Лапко В. А. Методика проверки гипотез о распределениях многомерных спектральных данных с использованием непараметрического алгоритма распознавания образов // Компьютерная оптика. 2019. Т. 43. № 2. С. 238–244. https://doi.org/10.18287/2412-6179-2019-43-2-238-244

4. Rudemo M., Scandinavian Journal of Statistics, 1982, vol. 9, no. 2, рр. 65–78.

5. Hall P., Annals of Statistics, 1983, vol. 11, no. 4, рр. 1156–1174.

6. Bowman A. W., Journal of Statistical Computation and Simulation, 1985, vol. 21, рр. 313–327. https://doi.org/10.1080/00949658508810822

7. Лапко А. В., Лапко В. А. Анализ методов оптимизации непараметрической оценки плотности вероятности по коэффициенту размытости ядерных функций // Измерительная техника. 2017. № 6. С. 3–8. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2017-6-3-8

8. Silverman B. W., Density estimation for statistics and data analysis, London, Chapman & Hall, 1986, 175 p.

9. Sheather S., Jones M., Journal of Royal Statistical Society Series B, 1991, vol. 53, no. 3, рр. 683–690. https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1991.tb01857.x

10. Sheather S. J., Statistical Science, 2004, vol. 19, no. 4, рр. 588–597. https://doi.org/10.1214/088342304000000297

11. Terrell G. R., Scott D. W., Journal of the American Statistical Association, 1985, vol. 80, рр. 209–214.

12. Jones M. C., Marron J. S., Sheather S. J., Journal of the American Statistical Association, 1996, vol. 91, рр. 401–407.

13. Лапко А. В., Лапко В. А. Быстрый алгоритм выбора коэффициентов размытости ядерных функций в непараметрической оценке плотности вероятности // Измерительная техника. 2018. № 6. С. 16–20. https://doi.org/10.32446/0368-1025it-2018-6-16-20

14. Лапко А. В., Лапко В. А. Быстрый алгоритм выбора коэффициентов размытости в многомерных ядерных оценках плотности вероятности // Измерительная техника. 2018. № 10. С. 19–23. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2018-10-19-23

15. Лапко А. В., Лапко В. А. Выбор коэффициента размытости ядерных оценок плотности вероятности в условиях больших выборок // Измерительная техника. 2019. № 5. С. 3–6. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2019-5-3-6

16. Лапко А. В., Лапко В. А. Быстрый выбор коэффициентов размытости в многомерном непараметрическом алгоритме распознавания образов // Измерительная техника. 2019. № 8. С. 8–13. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2019-8-8-13

17. Лапко А. В., Лапко В. А. Оценивание интеграла от квадрата производных симметричных плотностей вероятностей одномерных случайных величин // Метрология. 2020. № 1. С. 15–27. https://doi.org/10.32446/0132-4713.2020-1-15-27.

18. Епанечников В. А. Непараметрическая оценка многомерной плотности вероятности // Теория вероятности и её применения. 1969. Т. 14. № 1. С. 156–161.