izmertechИзмерительная техникаIzmeritel`naya Tekhnika0368-10252949-5237ФГУП "ВНИИФТРИ"10.32446/0368-1025it.2021-1-14-20izmertech-1700Research ArticleОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТРОЛОГИИ И ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИGENERAL PROBLEMS OF METROLOGY AND MEASUREMENT TECHNIQUESОценивание нелинейного функционала от плотности вероятности при оптимизации непараметрических решающих функцийEstimation of a nonlinear functional from the probability density when optimizing nonparametric decision functionsЛапкоА. В.LapkoA. V.

Александр Васильевич Лапко

Красноярск

Aleksandr V. Lapko

Krasnoyarsk

lapko@icm.krasn.ruhttps://orcid.org/0000-0001-6938-9323ЛапкоВ. А.LapkoV. A.

Василий Александрович Лапко

Красноярск

 

Vasiliy A. Lapko

Krasnoyarsk

valapko@yandex.ruИнститут вычислительного моделирования Сибирского отделения РАН; Сибирский государственный университет науки и технологий им. академика М. Ф. РешетнёваРоссияInstitute of Computational Modeling, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (ICM SB RAS); Reshetnev Siberian State University of Science and TechnologyRussian Federation202107062023011420Copyright © ФГУП "ВНИИФТРИ", 20232023ФГУП "ВНИИФТРИ"ФГУП "ВНИИФТРИ"https://www.izmt.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://www.izmt.ru/jour/article/view/1700

Предложена методика оценивания нелинейного функционала от плотности вероятности двухмерной случайной величины. Методика актуальна при реализации процедур «быстрого» выбора коэффициентов размытости в задаче оптимизации ядерных оценок плотности вероятности и позволяет значительно повысить вычислительную эффективность непараметрических решающих правил. Основу предлагаемого подхода составляет анализ формулы оптимального коэффициента размытости ядерной оценки плотности вероятности. При этом коэффициент размытости ядерных функций представлен в виде произведения неопределённого параметра и средних квадратических отклонений случайных величин. Основная составляющая неопределённого параметра – нелинейный функционал от плотности вероятности, который для семейства одномодальных симметричных законов распределения определяется видом плотности вероятности и не зависит от параметров плотности. Для семейства двухмерных логнормальных законов распределения независимых случайных величин определены ошибки аппроксимации рассматриваемого нелинейного функционала от плотности вероятности. Исследована возможность применения предложенной методики при оценивании нелинейных функционалов от плотностей вероятностей, отличающихся от логнормальных законов распределения. Проанализировано влияние возникающих ошибок аппроксимации на средние квадратические критерии восстановления непараметрической оценки плотности вероятности двухмерной случайной величины.

A method for estimating the nonlinear functional of the probability density of a two-dimensional random variable is proposed. It is relevant when implementing procedures for fast bandwidths selection in the problem of optimization of kernel probability density estimates. The solution of this problem allows to signifi cantly improve the computational efficiency of nonparametric decision rules. The basis of the proposed approach is the analysis of the formula for the optimal bandwidth of the kernel probability density estimation. In this case, the bandwidth of kernel functions is represented as the product of an indeterminate parameter and the average square deviations of random variables. The main component of an undefined parameter is a nonlinear functional of the probability density. The considered functional is determined by the type of probability density and does not depend on the density parameters. For a family of two-dimensional lognormal laws of distribution of independent random variables, the approximation errors of the considered nonlinear functional from the probability density are determined. The possibility of applying the proposed methodology when evaluating nonlinear functionals of probability densities that differ from the lognormal distribution laws is investigated. An analysis is made of the effect of the resulting approximation errors on the root-mean-square criteria for restoring a non-parametric estimate of the probability density of a two-dimensional random variable.

ядерная оценка плотности вероятностимногомерная случайная величинабыстрый выбор коэффициентов размытостикоэффициент контрэксцессакоэффициент асимметриивыборки большого объёмалогнормальный закон распределенияkernel probability density estimationmultidimensional random variablefast bandwidths selectionantikurtosis coefficientskewness coefficientlarge samplinglognormal distribution lawReferencesЛапко А. В., Лапко В. А. Непараметрические алгоритмы оценивания состояний природных объектов // Автометрия. 2018. Т. 54. № 5. С. 33–39. https://doi.org/10.15372/AUT20180504Lapko A. V., Lapko V. A., Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 2018, vol. 54, no. 5, pp. 451–456. https://doi.org/10.3103/S8756699018050047Лапко А. В., Лапко В. А., Им С. Т., Тубольцев В. П., Авдеенок В. А. Непараметрический алгоритм выделения классов, соответствующих одномодальным фрагментам плотности вероятности многомерных случайных величин // Автометрия. 2019. Т. 55. № 3. С. 22–30. https://doi.org/10.15372/AUT20190303Lapko A. V., Lapko V. A., Im S. T., Tuboltsev V. P., Avdeenok V. A., Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 2019, vol. 55, no. 3, pp. 230–236. https://doi.org/10.3103/S8756699019030038Лапко А. В., Лапко В. А. Методика проверки гипотез о распределениях многомерных спектральных данных с использованием непараметрического алгоритма распознавания образов // Компьютерная оптика. 2019. Т. 43. № 2. С. 238–244. https://doi.org/10.18287/2412-6179-2019-43-2-238-244Lapko A. V., Lapko V. A., Computer Optics, 2019, vol. 43, no. 2, pp. 238–244. https://doi.org/10.18287/2412-6179-2019-43-2-238-244Rudemo M., Scandinavian Journal of Statistics, 1982, vol. 9, no. 2, рр. 65–78.Rudemo M., Scandinavian Journal of Statistics, 1982, vol. 9, no. 2, рр. 65–78.Hall P., Annals of Statistics, 1983, vol. 11, no. 4, рр. 1156–1174.Hall P., Annals of Statistics, 1983, vol. 11, no. 4, рр. 1156–1174.Bowman A. W., Journal of Statistical Computation and Simulation, 1985, vol. 21, рр. 313–327. https://doi.org/10.1080/00949658508810822Bowman A. W., Journal of Statistical Computation and Simulation, 1985, vol. 21, рр. 313–327. https://doi.org/1 0.1080/00949658508810822Лапко А. В., Лапко В. А. Анализ методов оптимизации непараметрической оценки плотности вероятности по коэффициенту размытости ядерных функций // Измерительная техника. 2017. № 6. С. 3–8. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2017-6-3-8Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2017, vol. 60, no. 6, pp. 515–522. https://doi.org/10.1007/s11018-017-1228-xSilverman B. W., Density estimation for statistics and data analysis, London, Chapman & Hall, 1986, 175 p.Silverman B. W., Density estimation for statistics and data analysis, London, Chapman & Hall, 1986, 175 p.Sheather S., Jones M., Journal of Royal Statistical Society Series B, 1991, vol. 53, no. 3, рр. 683–690. https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1991.tb01857.xSheather S., Jones M., Journal of Royal Statistical Society Series B, 1991, vol. 53, no. 3, рр. 683–690. https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1991.tb01857.xSheather S. J., Statistical Science, 2004, vol. 19, no. 4, рр. 588–597. https://doi.org/10.1214/088342304000000297Sheather S. J., Statistical Science, 2004, vol. 19, no. 4, рр. 588–597. https://doi.org/10.1214/088342304000000297Terrell G. R., Scott D. W., Journal of the American Statistical Association, 1985, vol. 80, рр. 209–214.Terrell G. R., Scott D. W., Journal of the American Statistical Association, 1985, vol. 80, рр. 209–214.Jones M. C., Marron J. S., Sheather S. J., Journal of the American Statistical Association, 1996, vol. 91, рр. 401–407.Jones M. C., Marron J. S., Sheather S. J., Journal of the American Statistical Association, 1996, vol. 91, рр. 401–407.Лапко А. В., Лапко В. А. Быстрый алгоритм выбора коэффициентов размытости ядерных функций в непараметрической оценке плотности вероятности // Измерительная техника. 2018. № 6. С. 16–20. https://doi.org/10.32446/0368-1025it-2018-6-16-20Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2018, vol. 61, no. 6, pp. 540–545. https://doi.org/10.1007/s11018-018-1463-9Лапко А. В., Лапко В. А. Быстрый алгоритм выбора коэффициентов размытости в многомерных ядерных оценках плотности вероятности // Измерительная техника. 2018. № 10. С. 19–23. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2018-10-19-23Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2019, vol. 61, no. 10, pp. 979–986. https://doi.org/10.1007/s11018-019-01536-xЛапко А. В., Лапко В. А. Выбор коэффициента размытости ядерных оценок плотности вероятности в условиях больших выборок // Измерительная техника. 2019. № 5. С. 3–6. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2019-5-3-6Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2019, vol. 62, no. 5, pp. 383–389. https://doi.org/10.1007/s11018-019-01634-wЛапко А. В., Лапко В. А. Быстрый выбор коэффициентов размытости в многомерном непараметрическом алгоритме распознавания образов // Измерительная техника. 2019. № 8. С. 8–13. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2019-8-8-13Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2019, vol. 62, no. 8, pp. 665–672. https://doi.org/10.1007/s11018-019-01676-0Лапко А. В., Лапко В. А. Оценивание интеграла от квадрата производных симметричных плотностей вероятностей одномерных случайных величин // Метрология. 2020. № 1. С. 15–27. https://doi.org/10.32446/0132-4713.2020-1-15-27.Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2020, vol. 63, no. 3, pp. 171–176. https://doi.org/10.1007/s11018-020-01768-2Епанечников В. А. Непараметрическая оценка многомерной плотности вероятности // Теория вероятности и её применения. 1969. Т. 14. № 1. С. 156–161.Epanechnikov V. A., Teoriya veroyatnosti i eyo primeneniya, 1969, vol. 14, no. 1, pp. 156–161 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.