Многошаговый алгоритм построения статистических оценок на основе байесовского подхода в измерительных задачах

Разработанмногошаговыйалгоритмнаосновебайесовскогоподходакпостроениюэффективных статистических оценок результатов измерений. Представлена общая логическая схема многошагового алгоритма, позволяющая строить обобщённые байесовские оценки с использованием смеси априорного и апостериорного распределений при неоднородности априорных и апостериорных данных. Сформулированы условия существования сопряжённого семейства априорных распределений. Описана методика расчёта конкретных значений параметров сопряжённых априорных распределений.
Подробно изложен байесовский подход применительно к биномиальному и отрицательно-биномиальному законам распределения. С использованием функции правдоподобия получены формулы пересчёта параметров соответствующего сопряжённого закона распределения, необходимые для пошаговых переходов в многошаговом алгоритме. Приведены примеры применения алгоритма для оценки соответствия измерительных систем заданным требованиям, а также для обработки результатов количественного физико-химического анализа. Представленные результаты показывают, что байесовский подход даёт существенный выигрыш по сравнению с методом максимального правдоподобия в точности построения статистических оценок при небольших и средних объёмах выборок. Указанное обстоятельство делает байесовский подход особенно эффективным для оценки метрологических характеристик измерительных систем в случае, когда многократное повторение испытаний нецелесообразно или трудоёмко. На конкретных примерах проиллюстрировано, что при увеличении объёма и количества выборок результаты многошагового байесовского подхода и классического метода максимального правдоподобия будут идентичными.

1. Сычев Е. И. Оценка эффективности и параметрический синтез метрологического обеспечения радиоаппаратуры. М.: МО СССР, 1984. 386 c.

2. Сурду М. Н. Вариационный метод калибровки измерителей импеданса. Ч. 1. Основные положения // Метрология. 2019. № 2. С. 27–43 . https://doi.org/10.32446/0132-4713.2019-2-27-43

3. Кузнецов В. А., Исаев Л. К., Шайко И. А. Метрология. М.: Стандартинформ, 2005. 298 с.

4. Сычев Е. И., Храменков В. Н., Шкитин А. Д. Основы метрологии военной техники. М.: Военное издательство, 1993. 400 с.

5. Сюсина О. М., Черницов А. М., Тамаров В. А. Построение доверительных областей в задаче вероятностного исследования движения малых тел солнечной системы // Астрономический вестник. 2012. Т. 46. № 3. С. 209–222.

6. Вишняков Б. В., Егоров А. И. Построение доверительных областей для траекторий движения объектов в задачах машинного зрения // Известия РАН. Теория и системы управления. 2013. № 3. С. 124–132.

7. Айвазян С. А. Байесовский подход в эконометрическом анализе // Прикладная эконометрика. 2008. № 1 (9). С. 93–130.

8. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика

9. и основы эконометрики. Учебник для вузов: В 2-x томах. Т. 1. Теория вероятностей и прикладная статистика. Изд. 2-е, испр. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 656 с.

10. Lancaster A., An Introduction to Modern Bayesian Econometrics, Blackwell Pub., 2004.

11. Ghosh S. K., Hajra S., Paek A., Jayaram M., Annual Review of Biochemistry, 2006, vol. 75, pp. 211–241. https://doi.org/10.1146/annurev.biochem.75.101304.124037

12. Tipping М., Sparse Bayesian Learning and the relevance vector machine, Journal of Machine Learning Research, 2001, no. 1, pp. 211–244.

13. Kropotov D., Vetrov D., Optimal Bayesian Classifi er with Arbitrary Gaussian Regularizer, Proc. of 7th Open German-Russian Workshop on Pattern Recognition and Image Understanding (OGRW-7-2007), Ettlingen, Germany, 20–25 Aug. 2007.

14. Kropotov D., Vetrov D., Machine Learning, Proceedings of the Twenty-Fourth International Conference (ICML 2007), Corvallis, Oregon, USA, June 20–24, 2007. https://doi.org/10.1145/1273496.1273554

15. Vapnik V. N., Bounds on the Rate of Convergence of Learning Processes, In book: The Nature of Statistical Learning Theory. Измерительная техника № 4, 2022 29 Statistics for Engineering and Information Science, Springer, New York, 2000, pp. 69–91. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3264-1_4

16. Maxwell Chickering D., Heckerman D., Meek C., A Bayesian approach to learning Bayesian networks with local structure. https://doi.org/10.48550/arXiv.1302.1528

17. Бидюк П. И., Терентьев А. Н. Построение и методы обучения Байесовских сетей // Таврический вестник информатики и математики. 2004. № 2. С. 1–3.

18. Хайруллин Р. З. Применение байесовского подхода в задачах построения статистических оценок при обработке результатов испытаний измерительной техники // Вестник метролога. 2020. № 1. С. 9–15.

19. Хайруллин Р. З., Волчков А. А., Исаев Ю. А., Леонова К. С., Фуфаева О. В. Применение Байесовского подхода для построения эффективных оценок точности измерений // Вестник метролога. 2020. № 3. С. 9–12.

20. Хайруллин Р. З., Закутин А. А. Применение байесовского подхода к построению статистических оценок параметров распределения случайных величин // Измерительная техника. 2020. № 11. С. 14–21. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2020-11-14-21

21. Khayrullin R. Z., Khaimuldinova A. K., Taimanova G. K., Sarsembayeva T. E., Volkov V. S., Shamina S. V., Lyalin E. A., Kabanov O. V., Nexo Revista Cientifi ca, 2021, vol. 34, no. 4, pp. 1301– 1321. https://doi.org/10.5377/nexo.v34i04.12666

22. Хайруллин Р. З. Построение доверительных интервалов и областей для модели множественной линейной регрессии с использованием байесовского подхода // Альманах современной метрологии. 2021. № 4. С. 301–321.

23. Розенталь О. М., Александровская Л. Н., Кириллин А. В. Байесовский подход к повышению достоверности контроля качества вод // Аналитика и контроль. 2018. Т. 22, № 3. С. 334– 340. http://dx.doi.org/10.15826/analitika.2018.22.3.001