Применение семейства двусторонних степенных распределений для обработки результатов измерений

Для обработки результатов измерений и оценивания точности полученного результата традиционно используется нормальное распределение, однако в некоторых случаях данный подход может оказаться некорректным (например, при существенной асимметрии распределения или ограниченности его носителя). Поэтому актуален выбор семейства распределений, которое обеспечивало бы возможность аппроксимации как традиционно применяемых нормального и равномерного законов, так и распределений других типов, более адекватно отражающих специфику конкретных измерительных задач. Для моделирования данных измерений и оценивания показателей точности предложено использовать семейство двусторонних степенных распределений. Это семейство описывается простой математической моделью и при этом обеспечивает достаточное разнообразие форм плотности распределения, включая равномерное, двухмодальные и одномодальные распределения (как симметричные, так и асимметричные). Приведены способы подбора (приписывания) закона распределения на основе как априорной информации (по заданным показателям точности – измеренному значению, стандартной или расширенной неопределённостям, границам интервала охвата для заданного уровня вероятности), так и выборочных данных (реализованы методы максимального правдоподобия, моментов и подбора двустороннего степенного распределения по обратному отображению). Предложены метрологически обоснованные критерии аппроксимации непрерывных распределений распределениями рассматриваемого семейства, описано его использование при оценивании неопределённости многократных равноточных измерений. Для трансформирования распределений разработано программное обеспечение, допускающее задание модели измерений в аналитическом виде. Полученные результаты полезны для специалистов, применяющих методы статистического моделирования при оценивании результатов измерений, аттестации методик измерений и обработке данных межлабораторных сличений.

1. Possolo A., Merkatas C., Bodnar O. Asymmetrical uncertainties. Metrologia, 56(4), 045009 (2019). http://dx.doi.org/10.1088/1681-7575/ab2a8d

2. Sahlin E., Magnusson B., Svensson T. Calculation of uncertainty intervals for skewed distributions – Application in chemical analysis with large uncertainties. RISE Report 2021:07. RISE Research Institutes of Sweden, Gothenburg, Sweden (2021). http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.27781.22241

3. Cowen S., Ellison S. Reporting measurement uncertainty and coverage intervals near natural limits. The Analyst, 131(6), 710–717 (2006). http://dx.doi.org/10.1039/B518084H

4. Kotz S., Van Dorp J. R. Beyond Beta: Other Continuous Families of Distributions with Bounded Support and Applications. World Scientifi c Publishing, Singapore (2004). https://doi.org/10.1142/5720

5. Kotz S., Van Dorp J. R. The Standard Two-Sided Power Distribution and its Properties, The American Statistician, 56(2), 90–99 (2002). https://doi.org/10.1198/000313002317572745

6. Золотарев В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. Наука, Физматлит, Москва (1986).

7. Степанов А. В., Чуновкина А. Г. Об оценке параметров асимметричного TSP распределения и его применении. Вероятностные методы в дискретной математике: тезисы докладов XI международной Петрозаводской конференции, Петрозаводск, КарНЦ РАН, с. 106–108 (2024).

8. Степанов А. В. Об оценивании интервала охвата стандартного двустороннего степенного распределения по выборочным данным. Современная математика. Фундаментальные направления, 71(2), 341–352 (2025). https://doi.org/10.22363/2413-3639-2025-71-2-341-352

9. Тырсин А. Н. Метод подбора наилучшего закона распределения непрерывной случайной величины на основе обратного отображения. Вестник ЮУрГУ, Серия Математика. Механика. Физика, 9(1), 31–18 (2017). https://doi.org/10.14529/mmph170104

10. Степанов А. В., Чуновкина А. Г. Об оценивании параметров TSP-распределения на основе экспериментальных данных. XXVIII Международная конференция по мягким вычислениям и измерениям (SCM’2025), 28–30 мая 2025, Санкт-Петербург, СПбГЭТУ «ЛЭТИ». https://scm.etu.ru/assets/files/2025/sbornik/007-010.pdf