Взаимосвязь дробных размерностей измеряемых величин и фрактальных размерностей

Исследована возможность существования неформальной взаимосвязи двух понятий размерности – размерность измеряемой величины и фрактальная размерность объектов, в частности, применительно к дробным значениям размерности. Результаты измерений с отличными от нуля вероятностями ошибок первого и второго родов при сравнениях измеряемой величины с мерами можно рассматривать как воздействие окружающей среды. C точки зрения квантовой теории нельзя достоверно предсказать исход измерения ввиду воздействия на объект измерительного средства (разномасштабность), ограничиваясь только вероятностью исхода. Дробные размерности единиц электрических и магнитных величин присутствуют в системе единиц СГС (сантиметр, грамм, секунда). Нецелые, в том числе дробные, фрактальные размерности появляются при рассмотрении структуры сложных нелинейных объектов. Общность двух различных понятий размерности заключается в процедуре измерения в обоих определениях. Показано, что взаимосвязь дробных размерностей измеряемых величин и фрактальных размерностей проявляется в результате представления процесса измерения в виде обобщённого воздействия, характеризующего взаимодействие объектов. Полученные результаты можно использовать для расширения области применения фрактального подхода в практике измерений. 

1. Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: Большая Российская энциклопедия, 1995. 847 с.

2. Mandelbrot B. В. Fractals: form, chance and dimension. San Francisco, W. H. Freeman, 1977, 365 p., available at: https://archive. org/details/fractalsformchan0000mand (accessed: 24.04.2023).

3. Grattan-Guinness I. Chapter 26 – Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur (1822). In Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, 2005, рр. 354–365. https://doi.org/10.1016/B978-044450871-3/50107-8

4. Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности: Учеб.-справ. руководство. М: Наука, 1989. 430 с.

5. Исаев Л. К., Калинин М. И. Реформирование Международной системы единиц – от артефактов к естественным эталонам // Законодательная и прикладная метрология. 2019. № 1. С. 4–5. https://www.elibrary.ru/fxwulq

6. Чернышев С. Л. Измерение как обобщенное воздействие // Измерительная техника. 2003. № 8. С. 11–15. https:// www.elibrary.ru/pdahat

7. Чернышев С. Л., Исаев Л. К., Козлов А. Д. Периодическая система элементов Д. И. Менделеева: между прошлым и будущим // Измерительная техника. 2020. № 8. C. 13–19. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2020-8-13-19

8. Литвинов Б. Я., Окрепилов М. В., Павлов Р. В. Экономика качества, метрология и фракталы // Экономика и управление. 2017. № 1(135). C. 58–63. https://www.elibrary.ru/yjcccf

9. Максвелл Д. К. Трактат об электричестве и магнетизме: в 2-х т. / Пер с англ. Б. М. Болотовского и др.; под ред. д-ра физ.-мат. наук М. Л. Левина. М.: Наука, 1989. Т. 1. 416 с. (Классики науки / АН СССР).

10. Калинин М. И., Исаев Л. К., Булыгин Ф. В. Размерности плоского и телесного углов и их единицы в Международной системе единиц // Измерительная техника. 2020. № 10. С. 26–32. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2020-10-26-32

11. Филиппов Г. Г. Теория размерностей и LTM-физика. М.: КомКнига, 2007. 96 с.

12. Малинецкий Г. Г. Задачи по курсу нелинейной динамики. М.: Наука, 1996. 136 c.

13. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1977. 438 с.

14. Кононогов С. А. Метрология и фундаментальные физические константы. М.: Стандартинформ, 2008. 272 с.

15. Темников Ф. Е., Афонин В. А., Дмитриев В. И. Теоретические основы информационной техники. М.: Энергия, 1971. 424 с.

16. Иванова В. С., Баланкин А. С., Бунин И. Ж., Оксогоев А. А. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994. 383 c.

17. Исаев Л. К., Чернышев С. Л. Выявление взаимосвязи шкал, характеризующих количественные и качественные свойства сложных объектов, на основе нумерации // Метрология. 2012. № 12. С. 3–12. https://www.elibrary.ru/pkbvbv

18. Зельдович Я. Б., Соколов Д. Д. Фрактали, подобие, промежуточная асимптотика // Успехи физических наук. 1985. Т. 146. С. 493–506. https://doi.org/10.3367/UFNr.0146.198507d.0493

19. Чернышев С. Л., Чернышев Л. С. Квантовый анализ результатов измерений // Измерительная техника. 2006. № 12. С. 3–8. https://www.elibrary.ru/muzjej

20. Чернышев С. Л. Моделирование и классификация наноструктур. М.: КРАСАНД, 2011. 216 с.

21. Чернышев С. Л., Чернышев А. С. Метрологические аспекты гармоничной самоорганизации // Измерительная техника. 2022. № 3. С. 5–16. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2022-3-9-16