Александр Васильевич Лапко, д-р техн. наук, профессор, главный научный сотрудник, Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук; профессор Сибирского государственного университета науки и технологий им. акад. М. Ф. Решетнёва
660036, Красноярск, Академгородок, д. 50, стр. 44
660037, г. Красноярск, просп. «Красноярский рабочий», 31
Aleksandr V. Lapko, D. Sc. (Engineering), Professor, Chief Research Officer, Researcher Institute of Computational Modelling of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Professor of the Reshetnev Siberian State University of Science and Technology
660036, Krasnoyarsk, Akademgorodok, 50, building 44
660037, Krasnoyarsk, Krasnoyarsky Rabochy Av., 31.
Василий Александрович Лапко, д-р техн. наук, профессор, ведущий научный сотрудник, Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук; Заведующий кафедрой, Сибирский государственный университет науки и технологий им. акад. М. Ф. Решетнёва
660036, Красноярск, Академгородок, д. 50, стр. 44
660037, г. Красноярск, просп. «Красноярский рабочий», 31
Vasiliy A. Lapko, D. Sc. (Engineering), Professor, Leading Researcher, Institute of Computational Modelling of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Head of Department, Reshetnev Siberian State University of Science and Technology
660036, Krasnoyarsk, Akademgorodok, 50, building 44
660037, Krasnoyarsk, Krasnoyarsky Rabochy Av., 31.
Рассмотрены непараметрические оценки плотности вероятности случайной величины, например, используемые в алгоритмах распознавания образов и автоматической классификации при априорной неопределённости. При малых и ограниченных объёмах выборок значений случайных величин увеличивается дисперсия традиционной непараметрической оценки плотности вероятности. В этих условиях для снижения дисперсии рекомендуется использовать интегральную оценку плотности вероятности. Для оценивания областей компетентностей интегральной оценки плотности вероятности и непараметрической статистики Розенблатта-Парзена сравнены их аппроксимационные свойства. Методика синтеза интегральной оценки плотности вероятности случайной величины основана на сглаживании традиционной ядерной оценки с использованием интегрального оператора. Особенность интегральной оценки плотности вероятности состоит в неявно определённой ядерной функции, вид которой зависит от её коэффициента размытости и параметра сглаживания. При восстановлении плотности вероятности в условиях конкретных статистических данных свойства интегральной оценки плотности вероятности, в отличие от традиционной непараметрической оценки, определяются не только коэффициентом размытости ядерной функции, но и её видом. Для обоснования эффективности интегральной оценки плотности вероятности исследованы условия её асимптотической сходимости, которые сравнены с традиционной ядерной оценкой Розенблатта-Парзена. Установлено, что асимптотические значения среднего квадратического отклонения и дисперсии интегральной оценки плотности вероятности меньше аналогичных значений традиционной непараметрической оценки. Разработана процедура последовательного выбора оптимального коэффициента размытости интегральной оценки плотности вероятности и параметра сглаживания. Предложенную методику синтеза интегральной оценки плотности вероятности случайной величины можно применять в условиях многомерных случайных величин. В данных условиях интегральная оценка плотности вероятности имеет преимущество над традиционной непараметрической статистикой Розенблатта-Парзена. Полученные результаты можно использовать при синтезе алгоритмов распознавания образов и автоматической классификации в условиях ограниченных и малых выборок статистических данных.
Nonparametric estimates of the probability density of a random variable are considered, for example, those used in pattern recognition and automatic classification algorithms with a priori uncertainty. With small and limited sample sizes of random variables, the variance of the traditional nonparametric probability density estimation increases. Under these conditions, it is recommended to use an integral estimate of the probability density to reduce the variance. To evaluate the areas of competence of the integral probability density estimation and nonparametric Rosenblatt-Parsen statistics, their approximation properties are compared.
The method of synthesizing an integral estimate of the probability density of a random variable is based on smoothing the traditional kernel estimate by using an integral operator. The peculiarity of the integral probability density estimate is the implicitly defined kernel function, the form of which depends on its blur coefficient and smoothing parameter. When restoring the probability density under specific statistical data conditions, the properties of the integral estimate of the probability density, in contrast to the traditional nonparametric estimate, are determined not only by the blur coefficient of the kernel function, but also by its type. To justify the effectiveness of the integral probability density estimate, the conditions of its asymptotic convergence are studied, which are compared with the traditional Rosenblatt–Parzen kernel estimate. It is found that the asymptotic values of the mean square deviation and the variance of the integral probability density estimate are less than those of the traditional nonparametric estimate. A procedure has been developed for consistently selecting the optimal blur coefficient for the integral estimation of the probability density and the smoothing parameter. The procedure for sequentially selecting the optimal blur coefficient of the integral probability density estimate and the smoothing parameter is considered. The proposed method for synthesizing an integral estimate of the probability density of a random variable can be applied in conditions of multidimensional random variables. Under these conditions, the integral probability density estimation has an advantage over the traditional nonparametric Rosenblatt-Parsen statistics. The results obtained can be used in the synthesis of pattern recognition and automatic classification algorithms in conditions of limited and small samples of statistical data.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.