izmertechИзмерительная техникаIzmeritel`naya Tekhnika0368-10252949-5237ФГУП "ВНИИФТРИ"10.32446/0368-1025it.2026-3-32-39izmertech-2440Research ArticleОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТРОЛОГИИ И ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИGENERAL PROBLEMS OF METROLOGY AND MEASUREMENT TECHNIQUESМодифицированная оценка коэффициента корреляции Пирсона: нормирование случайных величин по моде распределенияModified estimation of the Pearson correlation coefficient: normalization of random variables according to the distribution modehttps://orcid.org/0000-0002-0664-3870ЛапкоА. В.LapkoA. V.

Александр Васильевич Лапко, профессор; д-р техн. наук, профессор, главный научный сотрудник

660037, г. Красноярск, просп. «Красноярский рабочий», 31

660036, Красноярск, Академгородок, д. 50, стр. 44

Aleksandr V. Lapko, Professor; D. Sc. (Engineering), Professor, Chief Research Officer

660037, Krasnoyarsk, Krasnoyarsky Rabochy Av., 31

660036, Krasnoyarsk, Akademgorodok, 50, building 44

lapko@icm.krasn.ruhttps://orcid.org/0000-0001-6938-9323ЛапкоВ. А.LapkoV. A.

Василий Александрович Лапко, заведующий кафедрой; д-р техн. наук, профессор, ведущий научный сотрудник

660037, г. Красноярск, просп. «Красноярский рабочий», 31

660036, Красноярск, Академгородок, д. 50, стр. 44

Vasiliy A. Lapko, Head of Department; D. Sc. (Engineering), Professor, Leading Researcher

660037, Krasnoyarsk, Krasnoyarsky Rabochy Av., 31

660036, Krasnoyarsk, Akademgorodok, 50, building 44

valapko@yandex.ruСибирский государственный университет науки и технологий им. акад. М. Ф. Решетнёва; Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наукРоссияReshetnev Siberian State University of Science and Technology; Institute of Computational Modelling of the Siberian Branch of the Russian Academy of SciencesRussian Federation2026190620267533239Copyright © ФГУП "ВНИИФТРИ", 20262026ФГУП "ВНИИФТРИ"ФГУП "ВНИИФТРИ"https://www.izmt.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://www.izmt.ru/jour/article/view/2440

Рассмотрены задачи структурного анализа статистических данных и построения линейных моделей стохастических зависимостей в условиях априорной неопределённости данных. Предложена и исследована модифицированная оценка коэффициента корреляции, которая является основой структурного анализа статистических данных. В отличие от традиционного коэффициента корреляции Пирсона модифицированная оценка основана на нормировании случайных величин по модам их плотностей вероятностей. Для поиска мод законов распределения использованы ядерные оценки плотностей вероятностей анализируемых случайных величин. Коэффициенты размытости ядерных функций непараметрических оценок плотностей вероятностей выбраны из условия максимума функции правдоподобия. Альтернативным подходом к выбору коэффициентов размытости является минимизация средних квадратических отклонений непараметрических оценок плотностей вероятностей. Исследованы оценки традиционного и модифицированного коэффициентов корреляции и рассмотрено их применение при построении линейных аппроксимаций статистических зависимостей. Использованы данные дистанционного зондирования тестового участка лесного массива, повреждённого сибирским шелкопрядом. Определены два набора пар спектральных признаков, отличающихся большими и малыми значениями рассматриваемых оценок коэффициентов корреляции. Сравнены оценки коэффициентов корреляции и проанализированы соответствующие им непараметрические оценки плотностей вероятностей спектральных признаков. При анализе ошибок линейных аппроксимаций зависимостей между спектральными признаками определены условия преимущества традиционной и модифицированной оценок коэффициентов корреляции. Полученные результаты можно применять при синтезе алгоритмов структурного анализа данных дистанционного зондирования природных объектов.

The problems of structural analysis of statistical data and construction of linear models of stochastic dependencies under a priori uncertainty are considered. A modified estimate of the correlation coefficient is proposed and investigated, which forms the basis for the structural analysis of statistical data. Unlike the traditional Pearson correlation coefficient, the modified estimator is based on normalizing random variables by the modes of their probability densities. To find modes of distribution laws, kernel estimates of probability densities of the random variables being analyzed are used. The choice of the blurriness coefficients for the kernel functions of nonparametric probability density estimates is based on the condition of maximizing the likelihood function. An alternative approach to choosing blurriness coefficients is to minimize the standard deviations of nonparametric probability density estimates. Estimates of traditional and modified correlation coefficients are examined. Their application in constructing linear approximations of statistical relationships is discussed. For this purpose, remote sensing data from a test forest area damaged by the Siberian silk moth was used. Two sets of spectral feature pairs were identified, differing in the large and small values of the correlation coefficient estimates under consideration. The correlation coefficient estimates were compared, and the corresponding nonparametric probability density estimates for the spectral features were analyzed. In the analysis of errors in linear approximations of dependencies between spectral features, the conditions for the advantage of traditional and modified estimates of correlation coefficients were determined. The obtained results can be used in the synthesis of algorithms for structural analysis of remote sensing data of natural objects.

модифицированный коэффициент корреляциикоэффициент корреляции Пирсоналинейные аппроксимацииядерная оценка плотностиданные дистанционного зондированияанализ спектральных данныхлесной массивmodified correlation coefficientPearson correlation coefficientlinear approximationskernel density estimationremote sensing dataspectral data analysisforest areaReferencesЛапко А. В., Лапко В. А. Методика декомпозиции значений двухмерных спектральных признаков дистанционного зондирования на основе анализа составляющих коэффициента корреляции. Измерительная техника, 73(6), 12–17 (2024). https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2024-6-12-17 ; https://www.elibrary.ru/pphujkLapko A. V., Lapko V. A. Procedure for decomposing the values of two-dimensional spectral features of remote sensing based on the analysis of correlation coefficient components. Izmeritel’naya Tekhnika, 73(6), 12–17 (2024). (In Russ.) https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2024-6-12-17 ; https://www.elibrary.ru/pphujkЛапко А. В., Лапко В. А., Им С. Т. Декомпозиция спектральных признаков дистанционного зондирования на основе составляющих коэффициента корреляции. Автометрия, 61(3), 28–36 (2025). https://doi.org/10.15372/AUT20250303 ; https://elibrary.ru/fzvcxoLapko A. V., Lapko V. A., Im S. T. Decomposition of spectral features of remote sensing based on the correlation coefficient components. Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 61(3), 310–317 (2025). https://doi.org/10.3103/S8756699025700360 ; https://elibrary.ru/vmefluЛапко А. В., Лапко В. А. Методика оценивания информативности аргументов непараметрической модели стохастической зависимости при их конкретных значениях. Научно-техническая информация. Серия 2: Информационные процессы и системы, (8), 23–26 (2025). https://doi.org/10.36535/0548-0027-2025-08-2 ; https://elibrary.ru/rantwdLapko A. V., Lapko V. A. A method for evaluating the informative value of arguments of a nonparametric stochastic dependence model with their specific values. Automatic Documentation and Mathematical Linguistics, 59(4), 252–255 (2025). https://doi.org/10.3103/S0005105525700694 ; https://elibrary.ru/hkwzqvJohnston J., Dinardo J. Econometric Methods. McGraw-Hill, New York (1997).Johnston J., Dinardo J. Econometric Methods. McGraw-Hill, New York (1997).Gentle J. E., Härdle W. K., Mori Y. Handbook of computational statistics. Springer, Berlin, Heidelberg (2012). https://doi.org/10.1007/978-3-642-21551-3Gentle J. E., Härdle W. K., Mori Y. Handbook of computational statistics. Springer, Berlin, Heidelberg (2012). https://doi.org/10.1007/978-3-642-21551-3Härdle W. K., Lu H. H. S., Shen X. Handbook of big data analytics. Springer, Berlin, Heidelberg (2018). https://doi.org/10.1007/978-3-319-18284-1Härdle W. K., Lu H. H. S., Shen X. Handbook of big data analytics. Springer, Berlin, Heidelberg (2018). https://doi.org/10.1007/978-3-319-18284-1Lu H. H. S., Schölkopf B., Wells M. T., Zhao H. Handbook of statistical bioinformatics. Springer, Berlin, Heidelberg (2022). https://doi.org/10.1007/978-3-662-65902-1Lu H. H. S., Schölkopf B., Wells M. T., Zhao H. Handbook of statistical bioinformatics. Springer, Berlin, Heidelberg (2022). https://doi.org/10.1007/978-3-662-65902-1Parzen E. On estimation of a probability density function and mode. Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1065–1076 (1962). https://doi.org/10.1214/aoms/1177704472Parzen E. On estimation of a probability density function and mode. Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1065–1076 (1962). https://doi.org/10.1214/aoms/1177704472Епанечников В. А. Непараметрическая оценка многомерной плотности вероятности. Теория вероятности и её применения, 14(1), 156-161 (1969).Epanechnikov V. A. Non-parametric estimation of a multivariate probability density. Theory of Probability & Its Applications, 14(1), 156–161 (1969). https://doi.org/10.1137/1114019Шаруева А. В., Лапко А. В., Лапко В. А. Непараметрические методы проверки гипотез о распределениях случайных величин при анализе данных дистанционного зондирования. СО РАН, Новосибирск (2024). https://doi.org/10.53954/9785604990094 ; https://elibrary.ru/dfbrbiSharueva A. V., Lapko A. V., Lapko V. A. Nonparametric methods for hypotheses testing about distributions of random variables in the analysis of remote sensing data. SB RAS, Novosibirsk (2024). (In Russ.) https://doi.org/10.53954/9785604990094 ; https://elibrary.ru/dfbrbiDuin R. P. W. On the choice of smoothing parameters for Parzen estimators of probability density functions. IEEE Transactions on Computers, C-25(11), 1175–1179 (1976). https://doi.org/10.1109/TC.1976.1674577Duin R. P. W. On the choice of smoothing parameters for Parzen estimators of probability density functions. IEEE Transactions on Computers, C-25(11), 1175–1179 (1976). https://doi.org/10.1109/TC.1976.1674577Botev Z. I., Kroese D. P. Non-asymptotic bandwidth selection for density estimation of discrete data. Methodology and Computing in Applied Probability, 10(3), 435–451 (2008). https://doi.org/10.1007/s11009-007-9057-z ; https://elibrary.ru/pljmagBotev Z. I., Kroese D. P. Non-asymptotic bandwidth selection for density estimation of discrete data. Methodology and Computing in Applied Probability, 10(3), 435–451 (2008). https://doi.org/10.1007/s11009-007-9057-z ; https://elibrary.ru/pljmagЛапко А. В., Лапко В. А. Анализ методов оптимизации непараметрической оценки плотности вероятности по коэффициенту размытости ядерных функций. Измерительная техника, (6), 3–8 (2017). https://www.elibrary.ru/yzjoonLapko A. V., Lapko V. A. Analysis of optimization methods for nonparametric estimation of the probability density with respect to the blur factor of kernel functions. Izmeritel’naya Tekhnika, (6), 3–8 (2017). https://www.elibrary.ru/yzjoonRudemo M. Empirical choice of histogram and kernel density estimators. Scandinavian Journal of Statistics, (9), 65–78 (1982).Rudemo M. Empirical choice of histogram and kernel density estimators. Scandinavian Journal of Statistics, (9), 65–78 (1982).Bowman A. W. A comparative study of some kernel-based non-parametric density estimators. Journal of Statistical Computation and Simulation, 21, 313–327 (1982).Bowman A. W. A comparative study of some kernel-based non-parametric density estimators. Journal of Statistical Computation and Simulation, 21, 313–327 (1982).Hall P. Large-sample optimality of least squares cross-validation in density estimation. Annals of Statistics, 11, 1156–1174 (1983).Hall P. Large-sample optimality of least squares cross-validation in density estimation. Annals of Statistics, 11, 1156–1174 (1983).Jiang M., Provost S. B. A hybrid bandwidth selection methodology for kernel density estimation. Journal of Statistical Computation and Simulation, 84(3), 614–627 (2014).Jiang M., Provost S. B. A hybrid bandwidth selection methodology for kernel density estimation. Journal of Statistical Computation and Simulation, 84(3), 614–627 (2014).Dutta S. Cross-validation Revisited. Communications in Statistics-Simulation and Computation, 45(2), 472–490 (2016).Dutta S. Cross-validation Revisited. Communications in Statistics - Simulation and Computation, 45(2), 472–490 (2016).Guan Y. A Composite likelihood cross-validation approach in selecting bandwidth for the estimation of the pair correlation function. Scandinavian Journal of Statistics, 34(2), 336–346 (2007). https://doi.org/10.1111/j.1467-9469.2006.00533.xGuan Y. A Composite likelihood cross-validation approach in selecting bandwidth for the estimation of the pair correlation function. Scandinavian Journal of Statistics, 34(2), 336–346 (2007). https://doi.org/10.1111/j.1467-9469.2006.00533.xSilverman B. W. Density Estimation for Statistics and Data Analysis. Chapman & Hall, London (1986).Silverman B. W. Density Estimation for Statistics and Data Analysis. Chapman & Hall, London (1986).Scott D. W. Multivariate density estimation: theory, practice, and visualization. John Wiley & Sons, New Jersey (2015).Scott D. W. Multivariate Density Estimation: Theory, Practice, and Visualization. John Wiley & Sons, New Jersey (2015).Sheather S. J. Density estimation. Statistical Science, 19(4), 588–597 (2004). https://doi.org/10.1214/088342304000000297Sheather S. J. Density estimation. Statistical Science, 19(4), 588–597 (2004). https://doi.org/10.1214/088342304000000297Kharuk V. I., Im S. T., Soldatov V. V. Siberian silkmoth outbreaks surpassed geoclimatic barrier in Siberian Mountains. Journal of Mountain Science, 17, 1891–1900 (2020). https://doi.org/10.1007/s11629-020-5989-3; https://elibrary.ru/xetekqKharuk V. I., Im S. T., Soldatov V. V. Siberian silkmoth outbreaks surpassed geoclimatic barrier in Siberian Mountains. Journal of Mountain Science, 17, 1891–1900 (2020). https://doi.org/10.1007/s11629-020-5989-3 ; https://elibrary.ru/xetekqKharuk V. I., Im S. T., Ranson K. J., Yagunov M. N. Climate-induced northerly expansion of Siberian silkmoth range. Forests, 8(8), 301 (2017). https://doi.org/10.3390/f8080301 ; https://elibrary.ru/xnooweKharuk V. I., Im S. T., Ranson K. J., Yagunov M. N. Climate-induced northerly expansion of Siberian silkmoth range. Forests, 8(8), 301 (2017). https://doi.org/10.3390/f8080301 ; https://elibrary.ru/xnooweПономарёв Е. И., Якимов Н. Д., Третьяков П. Д., Сультсон С. М. Оценка дефолиации темнохвойных древостоев после воздействия сибирского шелкопряда по дистанционным данным. Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса, 20(4), 175–186 (2023). https://doi.org/10.21046/2070-7401-2023-20-4-175-186 ; https://elibrary.ru/odriojPonomarev E. I., Yakimov N. D., Tretyakov P. D., Sultson S. M. Estimation of defoliation features in dark coniferous tree stands after the impact of siberian silk moth according to remote data. Cosmic Research, 62(S1), S73–S80 (2024). https://doi.org/10.1134/S0010952524601208Лапко А. В., Лапко В. А., Им С. Т., Юронен Ю. П. Модифицированный метод структурного анализа данных дистанционного зондирования. Измерительная техника, 74(6), 4–12 (2025). https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2025-6-4-12 ; https://www.elibrary.ru/vvchccLapko A. V., Lapko V. A. Im S. T., Yuronen Yu. P. Modified method of structural analysis of remote sensing data. Izmeritel’naya Tekhnika, 74(6), 4–12 (2025). (In Russ.) https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2025-6-4-12 ; https://www.elibrary.ru/vvchcc

The authors declare that there are no conflicts of interest present.