izmertechИзмерительная техникаIzmeritel`naya Tekhnika0368-10252949-5237ФГУП "ВНИИФТРИ"10.32446/0368-1025it.2021-12-17-21izmertech-2015Research ArticleОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТРОЛОГИИ И ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИGENERAL PROBLEMS OF METROLOGY AND MEASUREMENT TECHNIQUESОптимизация ядерной оценки плотности вероятности двухмерной случайной величины с независимыми составляющимиOptimization of the kernel probability density estimation of a two-dimensional random variable with independent componentshttps://orcid.org/0000-0002-0664-3870ЛапкоА. В.LapkoA. V.

Александр Васильевич Лапко

Красноярск

 

Aleksandr V. Lapko

Krasnoyarsk

lapko@icm.krasn.ruhttps://orcid.org/0000-0001-6938-9323ЛапкоВ. А.LapkoV. A.

Василий Александрович Лапко

Красноярск

Vasiliy A. Lapko

Krasnoyarsk

valapko@yandex.ruБахтинаА. В.BakhtinaA. V.

Анна Владимировна Бахтина

Красноярск

Anna V. Bakhtina

Krasnoyarsk

anna-denisyuk@yandex.ruИнститут вычислительного моделирования Сибирского отделения РАН; Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. РешетневаРоссияInstitute of Computational Modelling, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Reshetnev Siberian State University of Science and TechnologyRussian FederationИнститут вычислительного моделирования Сибирского отделения РАН; Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. РешетневаРоссияInstitute of Computational Modelling, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Reshetnev Siberian State University of Science and TechnologyRussian FederationСибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева,РоссияReshetnev Siberian State University of Science and TechnologyRussian Federation2021280920230121721Copyright © Лапко А.В., Лапко В.А., Бахтина А.В., 20232023Лапко А.В., Лапко В.А., Бахтина А.В.Lapko A.V., Lapko V.A., Bakhtina A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.izmt.ru/jour/article/view/2015

Изучена проблема оптимизации непараметрических оценок плотностей вероятностей, актуальность которой обусловлена уменьшением эффективности непараметрических алгоритмов обработки информации при увеличении объёма статистических данных. Рассмотрена методика оптимизации ядерной оценки плотности вероятности двухмерной случайной величины с независимыми составляющими. Обоснована возможность использования оптимальных коэффициентов размытости ядерных оценок плотностей вероятностей одномерных случайных величин при синтезе непараметрической двухмерной плотности вероятности случайной величины с независимыми составляющими. В основу предлагаемого подхода положены результаты исследования асимптотических свойств непараметрической оценки плотности вероятности Розенблатта-Парзена. Для двухмерной случайной величины показано, что основной вклад в асимптотическое выражение среднего квадратического отклонения внесли соответствующие критерии для одномерных случайных величин. При оценивании двухмерной плотности вероятности возможно использование коэффициентов размытости, минимизирующих средние квадаритческие отклонения одномерных случайных величин. Полученные выводы подтверждены результатами вычислительных экспериментов при анализе нормальных законов распределения. Показана возможность развития предлагаемой методики при оптимизации непараметрических оценок плотностей вероятностей многомерных случайных величин с независимыми составляющими.

The problem of optimization of nonparametric estimates of probability densities is studied, the relevance of which is due to a decrease in the efficiency of nonparametric algorithms for information processing with an increase in the volume of statistical data. A method for optimizing the kernel probability density estimation of a two-dimensional random variable with independent components is considered. The possibility of using optimal bandwidths of kernel probability densities estimates of one-dimensional random variables in the synthesis of a nonparametric two-dimensional probability density of a random variable with independent components is substantiated. The proposed approach is based on the results of a study of the asymptotic properties of a nonparametric Rosenblatt-Parson probability density estimation. For a two-dimensional random variable, it is shown that the main contribution to the asymptotic expression of the mean square deviation is provided by the corresponding criteria for one-dimensional random variables. Therefore, it becomes possible to use the bandwidths that minimize the mean square deviations of one-dimensional random variables when estimating a two-dimensional probability density. The obtained conclusions are confirmed by the results of computational experiments in the analysis of normal distribution laws. The possibility of developing the proposed methodology is shown when optimizing nonparametric estimates of the probability densities of multidimensional random variables with independent components.

независимые случайные величиныплотность вероятностинепараметрическая оценкаоптимизация оценокядерные функциикоэффициенты размытостиасимптотические свойстваindependent random variablesprobability densitynonparametric estimationoptimization of estimateskernel functionsblur coeffi cientsasymptotic propertiesReferencesЗеньков И. В., Лапко А. В., Лапко В. А., Им С. Т., Тубольцев В. П., Авдеенок В. Л. Непараметрический алгоритм автоматической классификации многомерных статистических данных большого объёма и его применение // Компьютерная оптика. 2021. Т. 45. № 2. С. 253−260. https://doi.org/10.18287/2412-6179-CO-801Zenkov I. V., Lapko A. V., Lapko V. A., Im S. T., Tuboltsev V. P., Avdeenok V. L., Computer Optics, 2021, vol. 45, no. 2, pp. 253–260. (In Russ.) https://doi.org/10.18287/2412-6179-CO-801Варжапетян А. Г., Михайлова Е. Ю. Методы выбора определяющих характеристик непараметрических алгоритмов идентификации моделей надёжности сложных систем по эксплуатационным данным // Вопросы кибернетики. 1982. Вып. 94. С. 77–87.Varzhapetyan A. G., Mikhailova E. Yu., Voprosy kibernetiki, 1982, no. 94, pp. 77–87. (In Russ.)Silverman B. W., Density estimation for statistics and data analysis, London, Chapman and Hall, 1986, 175 p.Silverman B. W., Density estimation for statistics and data analysis, London, Chapman and Hall, 1986, 175 p.Botev Z. I., Grotowski J. F., Kroese D. P., Annals of Statistics, 2010, vol. 38, no. 5, pp. 2916–2957.Botev Z. I., Grotowski J. F., Kroese D. P., Annals of Statistics, 2010, vol. 38, no. 5, pp. 2916–2957.Добровидов А. В., Рудько И. М. Выбор ширины окна ядерной функции в непараметрической оценке производной плотности методом сглаженной кросс-валидации // Автоматика и телемеханика. 2010. № 2. С. 42–58.Dobrovidov A. V., Ruds’ko I. M., Automation and Remote Control, 2010, vol. 71, no. 2, pp 209–224. https://doi.org/10.1134/S0005117910020050O’Brien T. A., Kashinath K., Cavanaugh N. R., Collins W. D., O’Brien J. P., Computational Statistics and Data Analysis, 2016, vol. 101, pp. 148–160. https://doi.org/10.1016/j.csda.2016.02.014O’Brien T. A., Kashinath K., Cavanaugh N. R., Collins W. D., O’Brien J. P., Computational Statistics and Data Analysis, 2016, vol. 101, pp. 148–160. https://doi.org/10.1016/j.csda.2016.02.014Chen S., Journal of Probability and Statistics, 2015, vol. 2015, pp. 1–21. https://doi.org/10.1155/2015/242683Chen S., Journal of Probability and Statistics, 2015, vol. 2015, pp. 1–21. https://doi.org/10.1155/2015/242683Scott D. W., Multivariate Density Estimation: Theory, Practice, and Visualization, New York, Wiley, 2015, 384 p.Scott D. W., Multivariate Density Estimation: Theory, Practice, and Visualization, New York, Wiley, 2015, 384 p.Лапко А. В., Лапко В. А. Модифицированный алгоритм быстрого определения коэффициента размытости ядерной оценки плотности вероятности // Автометрия. 2020. Т. 56. № 6. C. 11–18. https://doi.org/10.15372/AUT20200602Lapko A. V., Lapko V. A., Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 2020, vol. 56, no. 6, pp. 566–572. https://doi.org/10.3103/S8756699020060102Епанечников В. А. Непараметрическая оценка многомерной плотности вероятности // Теория вероятности и ее применения. 1969. Т. 14. № 1. С. 156–161.Epanechnikov V. A., Theory of Probability and Its Applications, 1969, vol. 14, no. 1, pp. 153–158. https://doi.org/10.1137/1114019Лапко А. В., Лапко В. А. Непараметрическая оценка плотности вероятности независимых случайных величин // Информатика и системы управления. 2011. Т. 29. № 3. С. 118–124.Lapko A. V., Lapko V. A., Informatika i sistemy upravleniya, 2011, vol. 29, no. 3, pp. 118–124. (In Russ.)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.