izmertechИзмерительная техникаIzmeritel`naya Tekhnika0368-10252949-5237ФГУП "ВНИИФТРИ"10.32446/0368-1025it.2021-3-9-14izmertech-1994Research ArticleОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТРОЛОГИИ И ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИGENERAL PROBLEMS OF METROLOGY AND MEASUREMENT TECHNIQUESАнализ отношения средних квадратических отклонений ядерной оценки плотности вероятности в условиях независимых и зависимых случайных величинAnalysis of the ratio of the mean square deviations of the kernel probability density estimation in the conditions of independent and dependent random variablesЛапкоА. В.LapkoA. V.

Александр Васильевич Лапко

Красноярск

Aleksandr V. Lapko

Krasnoyarsk

lapko@icm.krasn.ruhttps://orcid.org/0000-0001-6938-9323ЛапкоВ. А.LapkoV. A.

Василий Александрович Лапко

Красноярск

Vasiliy A. Lapko

Krasnoyarsk

valapko@yandex.ruИнститут вычислительного моделирования Сибирского отделения РАН; Сибирский государственный университет науки и технологий им. академика М. Ф. РешетнёваРоссияInstitute of Computational Modeling, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (ICM SB RAS); Reshetnev Siberian State University of Science and TechnologyRussian Federation20212509202303914Copyright © ФГУП "ВНИИФТРИ", 20232023ФГУП "ВНИИФТРИ"ФГУП "ВНИИФТРИ"https://www.izmt.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://www.izmt.ru/jour/article/view/1994

Определено влияние информации о зависимости случайных величин на аппроксимационные свойства непараметрической оценки плотности вероятности типа Розенблатта-Парзена. Получено отношение асимптотических выражений средних квадратических отклонений независимых и зависимых случайных величин. Это отношение для двухмерных случайных величин рассмотрено как количественная оценка влияния информации об их зависимости на аппроксимационные свойства ядерной оценки плотности вероятности. Установленное отношение определяется видом плотности вероятности и объёмами исходных статистических данных, которые используются при оценивании плотностей вероятностей зависимых и независимых случайных величин. Полученные общие результаты подробно рассмотрены применительно к двухмерным линейно зависимым случайным величинам с нормальными законами распределения. Определена функциональная зависимость отношения средних квадратических отклонений независимых и зависимых двухмерных случайных величин от коэффициента корреляции и проанализирована зависимость этого отношения от объёмов статистических данных. Разработана методика оценивания функционала от вторых производных двухмерных случайных величин с нормальными законами распределения. Полученные результаты являются основой создания модификаций «быстрых» процедур оптимизации ядерных оценок плотностей вероятностей в условиях больших выборок.

The influence on the approximation properties of a nonparametric probability density estimate of Rosenblatt-Parzen type of the information on the dependence of random variables is determined. The ratio of the asymptotic expressions of the mean square deviations of independent and dependent random variables is obtained. This relation for a two-dimensional random variable is considered as a quantitative assessment of the influence of information about their dependence on the approximation properties of the kernel probability density estimate. The established ratio is determined by the kind of probability density and the volumes of the initial statistical data that are used in estimating the probability densities of dependent and independent random variables. The general results obtained are considered in detail for two-dimensional linearly dependent random variables with normal distribution laws. The functional dependence of the ratio of the mean square deviations of the independent and dependent two-dimensional random variables on the correlation coefficient is determined. The dependence of the considered ratio on the volume of statistical data is analyzed. A method for estimating the functional of the second derivatives of two-dimensional random variables with normal distribution laws is developed. The results obtained are the basis for the development of modifi cations of “fast” procedures for optimizing kernel estimates of probability densities in conditions of large samples.

ядерная оценка плотности вероятностизависимые случайные величинынезависимые случайные величиныдвухмерная случайная величинааппроксимационные свойстванепараметрическая оценка типа Розенблатта-Парзенаколичественная оценка зависимости случайных величиннормальный закон распределенияkernel probability density estimationdependent and independent random variablestwo-dimensional random variableapproximation propertiesnonparametric Rosenblatt-Parzen type estimatequantitative estimation of the dependence of random variablesnormal distribution lawReferencesParzen E., Annals of Mathematical Statistics, 1962, vol. 33, nо. 3, рр. 1065–1076. https://doi.org/10.1214/aoms/1177704472Parzen E., Annals of Mathematical Statistics, 1962, vol. 33, nо. 3, рр. 1065–1076. https://doi.org/10.1214/aoms/1177704472Rosenblatt M., Annals of Mathematical Statistics, 1971, vol. 42, no. 6, pp. 1815–1842. https://doi.org/10.1214/aoms/1177693050Rosenblatt M., Annals of Mathematical Statistics, 1971, vol. 42, no. 6, pp. 1815–1842. https://doi.org/10.1214/aoms/1177693050Rudemo M., Scandinavian Journal of Statistics, 1982, vol. 9, no. 2, pp. 65–78.Rudemo M., Scandinavian Journal of Statistics, 1982, vol. 9, no. 2, pp. 65–78.Hall P., Annals of Statistics, 1983, vol. 11, no. 4, pp. 1156–1174.Hall P., Annals of Statistics, 1983, vol. 11, no. 4, pp. 1156–1174.Bowman A. W., Journal of Statistical Computation and Simulation, 1985, vol. 21, pp. 313–327. https://doi.org/10.1080/00949658508810822Bowman A. W., Journal of Statistical Computation and Simulation, 1985, vol. 21, pp. 313–327. https://doi.org/10.1080/00949658508810822Li Q., Racine J. S., Nonparametric Econometrics: Theory and Practice, Princeton, Princeton University Press, 2007, 768 p.Li Q., Racine J. S., Nonparametric Econometrics: Theory and Practice, Princeton, Princeton University Press, 2007, 768 p.Dutta S., Communications in Statistics – Simulation and Computation, 2016, vol. 45, no. 2, pp. 472-490. https://doi.org/10.1080/03610918.2013.862275Dutta S., Communications in Statistics - Simulation and Computation, 2016, vol. 45, no. 2, pp. 472-490. https://doi.org/10.1080/03610918.2013.862275Епанечников В. А. Непараметрическая оценка многомерной плотности вероятности // Теория вероятности и её применения. 1969. Т. 14. № 1. С. 156–161.Epanechnikov V. A., Theory of Probability & Its Applications, vol. 14, iss. 1, 1969, pp. 153–158. https://doi.org/10.1137/1114019Деврой Л., Дьерфи Л. Непараметрическое оценивание плотностей (L1 – подход): Пер. с англ. Б. А. Цыбакова / Под ред. М. Б. Малютва. М.: Мир, 1988. 407 с.Devroye L., Gyorfi L. Nonparametric Density Estimation: The L1 View, New York, Wiley, 1985, 380 p.Мания Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей. Тбилиси: Тбилисский государственный университет, 1974. 238 с.Mania G. M. Statisticheskoe ocenivanie raspredeleniya veroyatnostej, Tbilisi, Tbilisskij gosudarstvennyj universitet Publ., 1974, 238 p. (in Russ.).Лапко А. В., Лапко В. А. Непараметрическая оценка плотности вероятности парзеновского типа с неявно заданной формой ядерной функции // Измерительная техника. 2016. № 6. С. 14–17.Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2016, vol. 59, no. 6, pp. 571–576. https://doi.org/10.1007/s11018-016-1010-5Лапко А. В., Лапко В. А. Регрессионная оценка многомерной плотности вероятности и её свойства // Автометрия. 2014. Т. 50. № 2. С. 50–56.Lapko A. V., Lapko V. A., Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 2014, vol. 50, no. 2, pp. 148–153.Лапко А. В., Лапко В. А. Непараметрические алгоритмы оценивания состояний природных объектов // Автометрия. 2018. Т. 54. № 5. С. 33–39. https://doi.org/10.15372/AUT20180504Lapko A. V., Lapko V. A., Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 2018, vol. 54, no. 5, pp. 451–456. https://doi.org/10.3103/S8756699018050047Лапко А. В., Лапко В. А., Им С. Т., Тубольцев В. П., Авдеенок В. А. Непараметрический алгоритм выделения классов, соответствующих одномодальным фрагментам плотности вероятности многомерных случайных величин // Автометрия. 2019. Т. 55. № 3. С. 22–30. https://doi.org/10.15372/AUT20190303Lapko A. V., Lapko V. A., Im S. T., Tuboltsev V. P., Avdeenok V. A., Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 2019, vol. 55, no. 3, pp. 230–236. https://doi.org/10.3103/S8756699019030038Лапко А. В., Лапко В. А. Методика проверки гипотез о распределениях многомерных спектральных данных с использованием непараметрического алгоритма распознавания образов // Компьютерная оптика. 2019. Т. 43. № 2. С. 238–244. https://doi.org/10.18287/2412-6179-2019-43-2-238-244Lapko A. V., Lapko V. A., Computer Optics, 2019, vol. 43, no. 2, pp. 238–244 (in Russ.). https://doi.org/10.18287/2412-6179-2019-43-2-238-244Борзов С. М., Потатуркин О. И. Выбор информативной системыпризнаков при классификации сельскохозяйственных культур по гиперспектральным данным // Автометрия. 2020. Т. 56. № 4. С. 134–144. https://doi.org/10.15372/AUT20200414Borzov S. M., Potaturkin O. I., Optoelectronics Instrumentation and Data Processing, 2020, vol. 56, no. 4, pp. 431–439. https://doi.org/10.3103/S8756699020040032Борзов С. М., Потатуркин О. И. Повышение эффективности классификации гиперспектральных изображений за счет разномасштабной пространственной обработки // Компьютерная оптика. 2020. Т. 44. № 6. С. 937–943. https://doi.org/10.18287/2412-6179-CO-779Borzov S. M., Potaturkin O. I., Computer Optics, 2020; vol. 44, no. 6, pp. 937–943 (in Russ.). https://doi.org/10.18287/2412-6179-CO-779Борзов С. М., Гурьянов М. А., Потатуркин О. И. Исследование эффективности классификации трудноразличимых типов растительности по гиперспектральным изображениям // Компьютерная оптика. 2019. Т. 43. № 3. С. 464–473. https://doi.org/10.18287/2412-6179-2019-43-3-464-473Borzov S. M., Guryanov M. A., Potaturkin O. I., Computer Optics, 2019, vol. 43, no. 3, pp. 464–473 (in Russ.). https://doi.org/10.18287/2412-6179-2019-43-3-464-473Гашников М. В. Адаптивная интерполяция на основе оптимизации решающего правила в многомерном признаковом пространстве // Компьютерная оптика. 2020. Т. 44. № 1. С. 101–108. https://doi.org/10.18287/2412-6179-CO-661Gashnikov M. V., Computer Optics, 2020, vol. 44, no. 1, pp. 101–108 (in Russ.). https://doi.org/10.18287/2412-6179-CO-661Kharuk V. I., Im S. T., Dvinskaya M. L., Ranson K. J., Petrov I. A., Journal of Mountain Science, 2017, vol. 14, no. 3, pp. 442–452. https://doi.org/10.1007/s11629-016-4286-7Kharuk V. I., Im S. T., Dvinskaya M. L., Ranson K. J., Petrov I. A., Journal of Mountain Science, 2017, vol. 14, no. 3, pp. 442–452. https://doi.org/10.1007/s11629-016-4286-7Kharuk V. I., Im S. T., Petrov I. A., Dvinskaya M. L., Fedotova E. V., Ranson K. J., Regional Environmental Change, 2017, vol. 17, no. 3, pp. 803–812. https://doi.org/10.1007/s10113-016-1073-5Kharuk V. I., Im S. T., Petrov I. A., Dvinskaya M. L., Fedotova E. V., Ranson K. J., Regional Environmental Change, 2017, vol. 17, no. 3, pp. 803–812. https://doi.org/10.1007/s10113-016-1073-5Зеньков И. В., Нефедов Б. Н., Анищенко Ю. А., Гильц Н. Е., Стукова О. О., Вокин В. Н., Кирюшина Е. В., Скорнякова С. Н. Информационное обеспечение дистанционного мониторинга экологии нарушенных земель угольными разрезами на Южном Урале // Уголь. 2020. № 9. С. 72–75. https://doi.org/10.18796/0041-5790-2020-9-72-75Zenkov I. V., Nefedov B. N., Anishenko Yu. A., Gilts N. E., Stukova O. O., Vokin V. N., Kiryushina E. V., Scornyakova S. N., Ugol, 2020, no. 9, pp. 72–75 (in Russ.). https://doi.org/10.18796/0041-5790-2020-9-72-75Лапко А. В., Лапко В. А. Непараметрическая оценка плотности вероятности независимых случайных величин // Информатика и системы управления. 2011. Т. 29. № 3. С. 118–124.Lapko A. V., Lapko V. A., Informatika i sistemy upravleniya, 2011, vol. 29, no. 3, pp. 118–124 (in Russ.).Лапко А. В., Лапко В. А. Свойства непараметрической оценки многомерной плотности вероятности независимых случайных величин // Информатика и системы управления. 2012. Т. 31. № 1. С. 166–174.Lapko A. V., Lapko V. A., Informatika i sistemy upravleniya, 2012, vol. 31, no. 1, pp. 166–174 (in Russ.).Silverman B. W., Density estimation for statistics and data analysis, London, Chapman & Hall, 1986, 175 p.Silverman B. W., Density estimation for statistics and data analysis, London, Chapman & Hall, 1986, 175 p.Sheather S., Jones M., Journal of Royal Statistical Society Series B, 1991, vol. 53, no. 3, рр. 683–690. https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1991.tb01857.xSheather S., Jones M., Journal of Royal Statistical Society Series B, 1991, vol. 53, no. 3, рр. 683–690. https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1991.tb01857.xSheather S. J., Statistical Science, 2004, vol. 19, no. 4, рр. 588–597. https://doi.org/10.1214/088342304000000297Sheather S. J., Statistical Science, 2004, vol. 19, no. 4, рр. 588–597. https://doi.org/10.1214/088342304000000297Terrell G. R., Scott D. W., Journal of the American Statistical Association, 1985, vol. 80, рр. 209–214.Terrell G. R., Scott D. W., Journal of the American Statistical Association, 1985, vol. 80, рр. 209–214.Jones M. C., Marron J. S., Sheather S. J., Journal of the American Statistical Association, 1996, vol. 91, рр. 401–407.Jones M. C., Marron J. S., Sheather S. J., Journal of the American Statistical Association, 1996, vol. 91, рр. 401–407.Scott D. W. Multivariate Density Estimation: Theory, Practice, and Visualization, New Jersey, John Wiley & Sons, 2015. 384 p.Scott D. W., Multivariate Density Estimation: Theory, Practice, and Visualization, New Jersey, John Wiley & Sons, 2015. 384 p.Лапко А. В., Лапко В. А. Быстрый алгоритм выбора коэффициентов размытости ядерных функций в непараметрической оценке плотности вероятности // Измерительная техника. 2018. № 6. С. 16–20. https://doi.org/10.32446/0368-1025it-2018-6-16-20Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2018, vol. 61, no. 6, pp. 540–545. https://doi.org/10.1007/s11018-018-1463-9Лапко А. В., Лапко В. А. Быстрый алгоритм выбора коэффициентов размытости в многомерных ядерных оценках плотности вероятности // Измерительная техника. 2018. № 10. С. 19–23. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2018-10-19-23Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2019, vol. 61, no. 10, pp. 979 – 986. https://doi.org/10.1007/s11018-019-01536-xЛапко А. В., Лапко В. А. Выбор коэффициента размытости ядерных оценок плотности вероятности в условиях больших выборок // Измерительная техника. 2019. № 5. С. 3–6. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2019-5-3-6Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2019, vol. 62, no. 5, pp. 383-389. https://doi.org/10.1007/s11018-019-01634-wЛапко А. В., Лапко В. А. Оценивание интеграла от квадрата производных симметричных плотностей вероятностей одномерных случайных величин // Метрология. 2020. № 1. С. 15–27. https://doi.org/10.32446/0132-4713.2020-1-15-27Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2020, vol. 63, no. 3, pp. 171–176. https://doi.org/10.1007/s11018-020-01768-2

The authors declare that there are no conflicts of interest present.