izmertechИзмерительная техникаIzmeritel`naya Tekhnika0368-10252949-5237ФГУП "ВНИИФТРИ"10.32446/0368-1025it.2020-11-9-13izmertech-1854Research ArticleОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТРОЛОГИИ И ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИGENERAL PROBLEMS OF METROLOGY AND MEASUREMENT TECHNIQUESМодифицированный алгоритм быстрого выбора коэффициентов размытости ядерных оценок многомерных плотностей вероятностейModified algorithm for fast bandwidth selection for kernel estimates of multidimensional probability densitiesЛапкоА. В.LapkoA. V.

Красноярск

Aleksandr V. Lapko

Krasnoyarsk

lapko@icm.krasn.ruЛапкоВ. А.LapkoV. A.

Красноярск

Vasiliy A. Lapko

Krasnoyarsk

valapko@yandex.ruИнститут вычислительного моделирования Сибирского отделения РАН; Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. РешетневаРоссияInstitute of Computational Modeling, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (ICM SB RAS); Reshetnev Siberian State University of Science and TechnologyRussian FederationИнститут вычислительного моделирования Сибирского отделения РАН; Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. РешетневаРоссияInstitute of Computational Modeling, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (ICM SB RAS); Reshetnev Siberian State University of Science and TechnologyRussian Federation202019072023011913Copyright © ФГУП "ВНИИФТРИ", 20232023ФГУП "ВНИИФТРИ"ФГУП "ВНИИФТРИ"https://www.izmt.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://www.izmt.ru/jour/article/view/1854

Обоснована оригинальная методика быстрого выбора коэффициентов размытости ядерных функций в непараметрической оценке многомерной плотности вероятности типа Розенблатта– Парзена. Предлагаемая методика позволяет значительно повысить вычислительную эффективность процедуры оптимизации ядерных оценок плотности вероятности в условиях статистических данных большого объёма по сравнению с традиционным подходом. Оригинальная методика основана на анализе формулы оптимального параметра коэффициентов размытости многомерной ядерной оценки плотности вероятности. Обнаружены зависимости между нелинейным функционалом от плотности вероятности и её производных до второго порядка включительно от коэффициентов контрэксцесса случайных величин. Коэффициенты размытости по каждой случайной величине представлены в виде произведения неопределённого параметра на их среднее квадратическое отклонение. Определено влияние ошибки восстановления установленных функциональных зависимостей на аппроксимационные свойства ядерной оценки плотности вероятности. Полученные результаты реализованы в виде методики синтеза и анализа быстрого алгоритма выбора коэффициентов размытости ядерной оценки двухмерной плотности вероятности независимых случайных величин. При реализации предлагаемой методики использованы данные о количественных характеристиках семейства логнормальных законов распределения.

 

An original technique has been justified for the fast bandwidths selection of kernel functions in a nonparametric estimate of the multidimensional probability density of the Rosenblatt–Parzen type. The proposed method makes it possible to significantly increase the computational efficiency of the optimization procedure for kernel probability density estimates in the conditions of large-volume statistical data in comparison with traditional approaches. The basis of the proposed approach is the analysis of the optimal parameter formula for the bandwidths of a multidimensional kernel probability density estimate. Dependencies between the nonlinear functional on the probability density and its derivatives up to the second order inclusive of the antikurtosis coefficients of random variables are found. The bandwidths for each random variable are represented as the product of an undefined parameter and their mean square deviation. The influence of the error in restoring the established functional dependencies on the approximation properties of the kernel probability density estimation is determined. The obtained results are implemented as a method of synthesis and analysis of a fast bandwidths selection of the kernel estimation of the two-dimensional probability density of independent random variables. This method uses data on the quantitative characteristics of a family of lognormal distribution laws.

ядерная оценка плотности вероятностимногомерная случайная величинабыстрый выбор коэффициентов размытостикоэффициент контрэксцессавыборки большого объёмалогнормальный закон распределенияпроизводные от плотности вероятностиkernel probability density estimationmultidimensional random variablefast bandwidths selectionantikurtosis coefficientlarge samplinglognormal distribution lawderivatives of probability densityReferencesЛапко А. В., Лапко В. А., Им С. Т., Тубольцев В. П., Авдеенок В. А. Непараметрический алгоритм выделения классов, соответствующих одномодальным фрагментам плотности вероятности многомерных случайных величин // Автометрия. 2019. Т. 55. № 3. С. 22–30. https://doi.org/10.15372/AUT20190303Lapko A. V., Lapko V. A., Im S. T., Tuboltsev V. P., Avdeenok V. A., Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 2019, vol. 55, no. 3, pp. 230–236. https://doi.org/10.3103/S8756699019030038Лапко А. В., Лапко В. А. Методика проверки гипотез о распределениях многомерных спектральных данных с использованием непараметрического алгоритма распознавания образов // Компьютерная оптика. 2019. Т. 43. № 2. С. 238– 244. https://doi.org/10.18287/2412-6179-2019-43-2-238-2443. Rudemo M., Scandinavian J. Statistics, 1982, no. 9, рр. 65–78.Lapko A. V., Lapko V. A., Computer Optics, 2019, vol. 43, no. 2, pp. 238–244. https://doi.org/10.18287/2412-6179-2019-43-2-238-244Hall P., Annals of Statistics, 1983, vol. 11, рр. 1156–1174.Rudemo M., Scandinavian J. Statistics, 1982, no. 9, pp. 65–78.Silverman B. W., Density estimation for statistics and data analysis, London, Chapman & Hall, 1986, 175 p.Hall P., Annals of Statistics, 1983, vol. 11, pp. 1156–1174.Sheather S., Jones M., Journal of Royal Statistical Society Series B, 1991, vol. 53, no. 3, рр. 683–690. https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1991.tb01857.xSilverman B. W. Density estimation for statistics and data analysis, London, Chapman & Hall, 1986, 175 p.Sheather S. J., Statistical Science, 2004, vol. 19, no. 4, рр. 588–597. https://doi.org/10.1214/088342304000000297Sheather S., Jones M., Journal of Royal Statistical Society Series B, 1991, vol. 53, no. 3, pp. 683–690. https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1991.tb01857.xTerrell G. R., Scott D. W., Journal of the American Statistical Association, 1985, vol. 80, рр. 209–214.Sheather S. J., Statistical Science, 2004, vol. 19, no. 4, pp. 588–597. https://doi.org/10.1214/088342304000000297Jones M. C., Marron J. S., Sheather S. J., Journal of the American Statistical Association, 1996, vol. 91, рр. 401–407.Terrell G. R., Scott D. W., Journal of the American Statistical Association, 1985, vol. 80, pp. 209–214.Лапко А. В., Лапко В. А. Быстрый алгоритм выбора коэффициентов размытости в многомерных ядерных оценках плотности вероятности // Измерительная техника. 2018. № 10. С. 19–23. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2018-10-19-23Jones M. C., Marron J. S., Sheather S. J., Journal of the American Statistical Association, 1996, vol. 91, pp. 401–407.Епанечников В. А. Непараметрическая оценка многомерной плотности вероятности // Теория вероятности и её применения. 1969. Т. 14. № 1. С. 156–161.Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2019, vol. 61, no. 10, pp. 979–986. https://doi.org/10.1007/s11018-019-01536-xЛапко А. В., Лапко В. А. Оценивание интеграла от квадрата производных симметричных плотностей вероятностей одномерных случайных величин // Метрология. 2020. № 1. С. 15–27. https://doi.org/10.32446/0132-4713.2020-1-15-27Epanechnikov V. A., Theory of Probability & Its Applications, 1969, vol. 14, no. 1, pp. 156–161.Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2020, vol. 63, no. 3, pp. 171–176. https://doi.org/10.1007/s11018-020-01768-2Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2020, vol. 63, no. 3, pp. 171–176. https://doi.org/10.1007/s11018-020-01768-2

The authors declare that there are no conflicts of interest present.