izmertechИзмерительная техникаIzmeritel`naya Tekhnika0368-10252949-5237ФГУП "ВНИИФТРИ"10.32446/0368-1025it.2020-10-26-32izmertech-1845Research ArticleФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТРОЛОГИИFUNDAMENTAL PROBLEMS OF METROLOGYРазмерности плоского и телесного углов и их единицы в Международной системе единицDimensions of plane and solid angles and their units in the International System of Units (SI)КалининМ. И.KalininM. I.

Москва

Mikhail I. Kalinin

Moscow

kalinin@vniims.ruИсаевЛ. К.Lev K. IsaevL. K.

Москва

Lev K. Isaev

Moscow

isaev-vm@vniims.ruБулыгинФ. В.BulyginF. V.

Москва

Fedor V. Bulygin

Moscow

fbulygin@vniims.ruВсероссийский научно-исследовательский институт метрологической службыРоссияRussian Research Institute for Metrological Service (VNIIMS)Russian Federation2020180720230102632Copyright © ФГУП "ВНИИФТРИ", 20232023ФГУП "ВНИИФТРИ"ФГУП "ВНИИФТРИ"https://www.izmt.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://www.izmt.ru/jour/article/view/1845

Проанализирована ситуация, сложившаяся в Международной системе единиц (СИ) в результате принятия в 1980 г. рекомендации Международного комитета мер и весов, предложившей рассматривать плоский и телесный углы как безразмерные производные величины. Показано, что основанием для такого решения стало неправильное понимание математической формулы, связывающей длину дуги окружности с её радиусом и соответствующим центральным углом, а также разложений тригонометрических функций в ряды. Из проведённого анализа следует, что величина плоский угол не зависит ни от одной величины СИ и должна быть отнесена к основным величинам, а её единицу – радиан – необходимо включить в совокупность основных единиц СИ. Величина телесный угол при этом оказывается производной величиной от плоского угла, его единица – стерадиан – является когерентной производной единицей, равной радиану в квадрате.

The situation that has developed in the International System of Units (SI) as a result of adopting the recommendation of the International Committee of Weights and Measures (CIPM) in 1980, which proposed to consider plane and solid angles as dimensionless derived quantities, is analyzed. It is shown that the basis for such a solution was a misunderstanding of the mathematical formula relating the arc length of a circle with its radius and corresponding central angle, as well as of the expansions of trigonometric functions in series. From the analysis presented in the article, it follows that a plane angle does not depend on any of the SI quantities and should be assigned to the base quantities, and its unit, the radian, should be added to the base SI units. A solid angle, in this case, turns out to be a derived quantity of a plane angle. Its unit, the steradian, is a coherent derived unit equal to the square radian.

основные величиныпроизводные величиныплоский уголтелесный уголосновные единицыпроизводные единицырадианстерадиан.base quantitiesderived quantitiesplane anglesolid anglebase unitsderived unitsradiansteradian.ReferencesCIPM, 1969, 58 Session: Reco mmandation 1, p. 30, available at: https://www.bipm.org/en/CIPM/db/1969/1/(accessed:31.08.2020).. CIPM, 1969, 58 Session: Recommandation 1, p. 30, available at: https://www.bipm.org/en/CIPM/db/1969/1/(accessed:31.08.2020).Comité Consultatif des Unités 1980, 7 session: Recommandation U1, p. U12, available at: https://www.bipm.org/utils/common/pdf/CC/CCU/CCU7.pdf(accessed:31.08.2020).Comité Consultatif des Unités 1980, 7 session: Recommandation U1, p. U12, available at: https://www.bipm.org/utils/common/pdf/CC/CCU/CCU7.pdf(accessed:31.08.2020).CIPM, 1980, 69 Session: Recommandation 1 (CI-1980), p. 24, available at: https://www.bipm.org/utils/common/pdf/CIPM-PV-OCR/CIPM1980.pdf(accessed:31.08.2020).CIPM, 1980, 69 Session: Recommandation 1 (CI-1980), p. 24, available at: https://www.bipm.org/utils/common/pdf/CIPM-PV-OCR/CIPM1980.pdf(accessed:31.08.2020).The International System of Units (SI). 1985, 5th ed., available at: https://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_5.pdf(accessed:31.08.2020).The International System of Units (SI). 1985, 5th ed., available at: https://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_5.pdf(accessed:31.08.2020).Quinn T. J., Metrologia, 1996, vol. 33, no. 1, pp. 81–89. https://doi.org/10.1088/0026-1394/33/1/11Quinn T. J., Metrologia, 1996, vol. 33, no. 1, pp. 81–89. https://doi.org/10.1088/0026-1394/33/1/11The International System of Units (SI), 2019, 9th ed., available at: https://www.bipm.org/utils/common/pdf/si-brochure/SI-Brochure-9-EN.pdf(accessed:31.08.2020).The International System of Units (SI), 2019, 9th ed., available at: https://www.bipm.org/utils/common/pdf/si-brochure/SI-Brochure-9-EN.pdf(accessed:31.08.2020).Mills I. M., Taylor B. N., and Thor A. J., Metrologia, 2001, vol. 38, no. 4, pp. 353–361. https://doi.org/10.1088/0026-1394/38/4/8Mills I. M., Taylor B. N., and Thor A. J., Metrologia, 2001, vol. 38, no. 4, pp. 353–361. https://doi.org/10.1088/0026-1394/38/4/8Quincey P., Metrologia, 2016, vol. 53, no. 2, pp. 840–845. https://doi.org/10.1088/0026-1394/53/2/840Quincey P., Metrologia, 2016, vol. 53, no. 2, pp. 840–845. https://doi.org/10.1088/0026-1394/53/2/840Максвелл Д. К. Трактат об электричестве и магнетизме: серия «Классики науки», в 2-х т. Пер с англ. М.: Наука, 1989. Т. 1. 415 с.Maxwell James Clerk, The scientifi c papers, vol. 1, Cambridge: At the university press, 1890.Standard ISO 80000-1, 2009. Quantities and units. Part 1: General.Standard ISO 80000-1, 2009. Quantities and units. Part 1: General.Математическая энциклопедия: в 5-и т. / И. М. Виноградов [и др.] М.: Советская энциклопедия, 1984. Т. 4. 1216 с.Vinogradov I. M. (ed), Matematicheskaya Encyclopedia, Moscow, Sovetskaya encyclopedia Publ., vol. 4, 1984, 1216 p. (in Russian).Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1977. 438 с.Sedov L. I., Metody podobija I razmernosti v mekhanike, Moscow, Nauka Publ., 1877, 438 p. (in Russian).Mohr P. J., and Phillips W. D., Metrologia, 2015, vol. 52, no. 1, pp. 40–47. https://doi.org/10.1088/0026-1394/52/1/40Mohr P. J., and Phillips W. D., Metrologia, 2015, vol. 52, no. 1, pp. 40–47. https://doi.org/10.1088/0026-1394/52/1/40Quincey P., Mohr P. J., and Phillips W. D., Metrologia, 2019, vol. 56, no. 4, 043001. https://doi.org/10.1088/1681-7575/ab27d7Quincey P., Mohr P. J., and Phillips W. D., Metrologia, 2019, vol. 56, no. 4, 043001. https://doi.org/10.1088/1681-7575/ab27d7Ильин В. А., Позняк Е. Г. Основы математического анализа, Ч. 1. М.: Физматлит, 2005.Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentals of Mathematical Analysis: Part1, 7th edn, Moscow, Fizmatlit Publ., 2005, 646 p. (in Russian).Torrens A. B., Metrologia, 1986, vol. 22, no. 1, pp. 1–7. https://doi.org/10.1088/0026-1394/22/1/002Torrens A. B., Metrologia, 1986, vol. 22, no. 1, pp. 1–7. https://doi.org/10.1088/0026-1394/22/1/002Brownstein K. R., Am. J. Phys., 1997, vol. 65, no. 7, pp. 605–614. https://doi.org/10.1119/1.18616Brownstein K. R., Am. J. Phys., 1997, vol. 65, no. 7, pp. 605–614. https://doi.org/10.1119/1.18616Kalinin M. I., Metrologia, 2019, vol. 56, no. 6, 065009. https://doi.org/10.1088/1681-7575/ab3fbfKalinin M. I., Metrologia, 2019, vol. 56, no. 6, 065009. https://doi.org/10.1088/1681-7575/ab3fbfEder W. E., Metrologia, 1982, vol. 18, no. 1, pp. 1–12. https://doi.org/10.1088/0026-1394/18/1/002Eder W. E., Metrologia, 1982, vol. 18, no. 1, pp. 1–12. https://doi.org/10.1088/0026-1394/18/1/002Emerson W. H., Metrologia, 2005, vol. 42, no. 4, pp. L23–L26. https://doi.org/10.1088/0026-1394/42/4/L02Emerson W. H., Metrologia, 2005, vol. 42, no. 4, pp. L23–L26. https://doi.org/10.1088/0026-1394/42/4/L02Математическая энциклопедия: в 5-и т./ И. М. Виноградов [и др.] М.: Советская энциклопедия, 1985. Т. 5. 1248 с.Vinogradov I. M. (ed), Matematicheskaya Encyclopedia, Moscow, Sovetskaya encyclopedia Publ., vol. 5, 1985, 1248 p. (in Russian).Wittmann H. A., Metrologia, 1988, vol. 25, no. 4, pp. 193–203. https://doi.org/10.1088/0026-1394/25/4/001Wittmann H. A., Metrologia, 1988, vol. 25, no. 4, pp. 193–203. https://doi.org/10.1088/0026-1394/25/4/001Mohr P. J., and Phillips W. D., A proposal to classify the radian as a base unite in the SI. http://arXiv.org/abs/1604.06774v1 (18 Feb 2016).Mohr P. J., and Phillips W. D., A proposal to classify the radian as a base unite in the SI. http://arXiv.org/abs/1604.06774v1(18Feb2016).Kalinin M. I., On the status of plane and solid anglesKalinin M. I., On the status of plane and solid angles in the International System of Units (SI). arXiv:1810.12057v3(8Nov2018). https://doi.org/10.1088/1681-7575/ab3fbfin the International System of Units (SI). arXiv:1810.12057v3(8Nov2018). https://doi.org/10.1088/1681-7575/ab3fbfKalinin M. I., Zakonodatel’naja i prikladnaja metrologia, 2018, no. 6, pp. 12–16.Калинин М. И. Плоский и телесный углы в Международной системе единиц // Законодательная и прикладная метрология. 2018. № 6. C. 12–16.Калинин М. И. Плоский и телесный углы в Международной системе единиц // Законодательная и прикладная метрология. 2018. № 6. C. 12–16.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.