izmertechИзмерительная техникаIzmeritel`naya Tekhnika0368-10252949-5237ФГУП "ВНИИФТРИ"10.32446/0368-1025it.2020-7-22-28izmertech-1812Research ArticleОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТРОЛОГИИ И ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИGENERAL PROBLEMS OF METROLOGY AND MEASUREMENT TECHNIQUESОценивание интеграла от квадрата плотности вероятности одномерной случайной величиныEstimating the integral of the square of the probability density of a one-dimensional random variableЛапкоА. В.LapkoA. V.

Красноярск

Aleksandr V. Lapko

Krasnoyarsk

lapko@icm.krasn.ruЛапкоВ. А.LapkoV. A.

Красноярск

Vasiliy A. Lapko

Krasnoyarsk

lapko@icm.krasn.ruИнститут вычислительного моделирования Сибирского отделения РАН; Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. РешетнёваРоссияInstitute of Computational Modeling, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (ICM SB RAS); Reshetnev Siberian State University of Science and TechnologyRussian FederationИнститут вычислительного моделирования Сибирского отделения РАН; Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. РешетнёваРоссияInstitute of Computational Modeling, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (ICM SB RAS); Reshetnev Siberian State University of Science and TechnologyRussian Federation202012072023072228Copyright © ФГУП "ВНИИФТРИ", 20232023ФГУП "ВНИИФТРИ"ФГУП "ВНИИФТРИ"https://www.izmt.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://www.izmt.ru/jour/article/view/1812

Рассмотрены проблемы прямого оценивания исследуемого функционала с использованием ядерных статистик. При выборе оптимального количества интервалов дискретизации области значений одномерной случайной величины установлено, что функционал от квадрата плотности вероятности является константой, значения которого не зависят от параметров плотности вероятности. Определены функциональные зависимости исследуемой константы от коэффициента контрэксцесса закона распределения случайной величины. Проанализированы установленные зависимости для семейств логнормальных плотностей вероятностей, законов распределения Стьюдента и семейств плотностей вероятностей с распределением Гаусса. По полученным результатам сформирована обобщённая модель между изучаемой константой и коэффициентом контрэксцесса, которая не зависит от вида плотности вероятности, а определяется оценкой указанного коэффициента. Разработанаметодика оценивания интеграла от квадрата плотности вероятности. Эффективность предлагаемой методики подтверждена результатами вычислительных экспериментов. Условия вычислительного эксперимента значительно отличаются от информации, применяемой при синтезе моделей зависимости между изучаемой константой и коэффициентом контрэксцесса. Установлены условия компетентности методики оценивания интеграла квадрата плотности вероятности от коэффициента контрэксцесса при использовании предлагаемых моделей зависимости изучаемой константы от условий вычислительного эксперимента.

When choosing the optimal number of sampling intervals of the range of values of a one-dimensional random variable, it is established that the functional of the square of the probability density is a constant. The values of the constant are independent of the probability density parameters. The functional dependencies of the studied constant on the coefficient of antikurtosis of the distribution law of a random variable are determined. The analysis of the established dependences for families of lognormal probability densities, Student's distribution laws and families of probability densities with Gauss distribution is carried out. Based on the results obtained, a generalized model is formed between the studied constant and the antikurtosis coefficient. The generalized model does not depend on the type of probability density, but is determined by the estimation of the antikurtosis coefficient. On this basis, we develop a method for estimating the integral of the square of the probability density, which involves the following actions. The random variable interval and the antikurtosis coefficient are estimated from the initial sample. At known values of these estimates, the integral of the square of the probability density is calculated. The effectiveness of the proposed method is confirmed by the results of computational experiments. The conditions of the computational experiment differ significantly from the information used in the synthesis of models of the dependence between the studied constant and the antikurtosis coefficient. The conditions of competence of the method of estimating the probability density square integral from the antikurtosis coefficient are established using the proposed models of the dependence of the studied constant on the conditions of the computational experiment.

функционал от квадрата плотности вероятностиодномерная случайная величинакоэффициент контрэксцессасмесь плотностей вероятностейлогнормальное распределениезакон распределения Стьюдента.functional of the square of probability densityone-dimensional random variableantikurtosis coefficientmixture of probability densitieslognormal distributionStudent's distribution law.References. Parzen E., Annals of Mathematical Statistics, 1962, vol. 33, nо. 3, рр. 1065–1076. https://doi.org/10.1214/aoms/1177704472Parzen E., Annals of Mathematical Statistics, 1962, vol. 33, nо. 3, рр. 1065–1076. https://doi.org/10.1214/aoms/1177704472Епанечников В. А. Непараметрическая оценка многомерной плотности вероятности // Теория вероятности и её применения. 1969. Т. 14. № 1. С. 156–161.Epanechnikov V. A., Theory of Probability & Its Applications, 1969, vol. 14, no. 1, pp. 156–161.Scott D. W., Multivariate Density Estimation: Theory, Practice, and Visualization, New Jersey, John Wiley & Sons, 2015. 384 p.Scott D. W., Multivariate Density Estimation: Theory, Practice, and Visualization, New Jersey, John Wiley & Sons, 2015, 384 p.Sheather S. J., Statistical Science, 2004, vol. 19, no. 4, pp. 588–597.Sheather S. J., Statistical Science, 2004, vol. 19, no. 4, pp. 588–597.Duong T., Journal of Statistical Software, 2007, vol. 21, no. 7, рр. 1–16.Duong T., Journal of Statistical Software, 2007, vol. 21, no. 7, рр. 1–16.Добровидов А. В., Рудько И. М. Выбор ширины окна ядерной функции в непараметрической оценке производной плотности методом сглаженной кросс-валидации // Автоматика и телемеханика. 2010. № 2. С. 42–58.Dobrovidov A. V., Ruds’ko I. M., Automation and Remote Control, 2010, vol. 71, no. 2, pp. 209–224. https://doi.org/10.1134/S0005117910020050.Botev Z. I., Grotowski J. F., Kroese D. P., Annals of Statistics, 2010, vol. 38, no. 5, рр. 2916–2957.Botev Z. I., Grotowski J. F., Kroese D. P., Annals of Statistics, 2010, vol. 38, no. 5, pp. 2916–2957.Chen S., Journal of Probability and Statistics, 2015, vol. 2015, рр. 1–21.Chen S., Journal of Probability and Statistics, 2015, vol. 2015, pp. 1–21.O’Brien T. A., Kashinath K., Cavanaugh N. R., Collins W. D., O’Brien J. P., Computational Statistics & Data Analysis, 2016, vol. 101, рр. 148–160. https://doi.org/10.1016/j.csda.2016.02.014O’Brien T. A., Kashinath K., Cavanaugh N. R., Collins W. D., O’Brien J. P., Computational Statistics & Data Analysis, 2016, vol. 101, pp. 148–160. https://doi.org/10.1016/j.csda.2016.02.014Лапко А. В., Лапко В. А. Непараметрическое оценивание квадратического функционала многомодальной плотности вероятности // Метрология. 2019. № 3. С. 17–29. https://doi.org/10.32446/0132-4713.2019-3-17-29Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2019, vol. 62, no. 9, pp. 769–775. https://doi.org/10.1007/s11018-019-01693-zЛапко А. В., Лапко В. А. Зависимость между параметрами гистограммы и ядерной оценки одномодальной плотности вероятности // Измерительная техника. 2019. № 9. С. 3–8. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2019-9-3-8Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2019, vol. 62, no. 9, pp. 747–753. https://doi.org/10.1007/s11018-019-01690-2Лапко А. В., Лапко В. А. Оптимальный выбор количества интервалов дискретизации области изменения одномерной случайной величины при оценивании плотности вероятности // Измерительная техника. 2013. № 7. С. 24–27.Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2013, vol. 56, no. 7, pp. 763–767. https://doi.org/10.1007/s11018-013-0279-xЛапко А. В., Лапко В. А. Метод дискретизации области значений многомерной случайной величины // Измерительная техника. 2019. № 1. С. 16–20. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2019-1-16-20Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2018, vol. 61, no. 5, pp. 427–433. https://doi.org/10.1007/s11018-018-1447-9Лапко А. В., Лапко В. А. Построение доверительных границ для плотности вероятности на основе её регрессионной оценки // Метрология. 2013. № 12. С. 3–9.Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2019, vol. 62, no. 1, pp. 16–22. https://doi.org/10.1007/s11018-019-01579-0Лапко А. В., Лапко В. А. Выбор коэффициента размытости ядерных оценок плотности вероятности в условиях больших выборок // Измерительная техника. 2019. № 5. С. 3–6. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2019-5-3-6Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2014, vol. 56, no. 12, pp. 1354–1357. https://doi.org/10.1007/s11018-014-0381-8Лапко А. В., Лапко В. А., Им С. Т., Тубольцев В. П., Авдеенок В. А. Непараметрический алгоритм выделения классов, соответствующих одномодальным фрагментам плотности вероятности многомерных случайных величин // Автометрия. 2019. Т. 55. № 3. С. 22–30. https://doi.org/10.15372/AUT20190303Lapko A. V., Lapko V. A., Measurement Techniques, 2019, vol. 62, no. 5, pp. 383–389. https://doi.org/10.1007/s11018-019-01634-wЛапко А. В., Лапко В. А. Методика проверки гипотез о распределениях многомерных спектральных данных с использованием непараметрического алгоритма распознавания образов // Компьютерная оптика. 2019. Т. 43. № 2. С. 238–244. https://doi.org/10.18287/2412-6179-2019-43-2-238-244Lapko A. V., Lapko V. A., Im S. T., Tuboltsev V. P., Avdeenok V. A., Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 2019, vol. 55, no. 3, pp. 230–236. https://doi.org/10.3103/S8756699019030038Lapko A. V., Lapko V. A., Computer Optics, 2019, vol. 43, no. 2, pp. 238–244. https://doi.org/10.18287/2412-6179-2019-43-2-238-244Lapko A. V., Lapko V. A., Computer Optics, 2019, vol. 43, no. 2, pp. 238–244. https://doi.org/10.18287/2412-6179-2019-43-2-238-244

The authors declare that there are no conflicts of interest present.