izmertechИзмерительная техникаIzmeritel`naya Tekhnika0368-10252949-5237ФГУП "ВНИИФТРИ"10.32446/0368-1025it.2022-10-44-52izmertech-1656Research ArticleРАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯRADIO MEASUREMENTSВосстановление сигналов по амплитуде спектраSignals recovery by the amplitude of its spectrumhttps://orcid.org/0000-0002-6980-933XБойковИ. В.BoikovI. V.

Илья Владимирович Бойков

 г. Пенза

Ilia V. Boikov

 Penza

i.v.boykov@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0001-7188-9159ПивкинаА. А.PivkinaA. A.

 Анастасия Александровна Пивкина

 г. Пенза

 Anastasia A. Pivkina

 Penza

nastyashaldaeva@mail.ruПензенский государственный университетРоссияPenza State UniversityRussian Federation2022250520230104452Copyright © Бойков И.В., Пивкина А.А., 20232023Бойков И.В., Пивкина А.А.Boikov I.V., Pivkina A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.izmt.ru/jour/article/view/1656

Предложен двухэтапный приближённый метод восстановления фазы спектра сигнала по амплитуде спектра. На первом этапе численным методом восстанавливается сигнал (в одномерном и двумерном случаях) по известному модулю спектра, на втором – определяется спектр восстановленного сигнала и вычисляется фаза спектра. Восстановление сигнала по известному модулю спектра моделируется нелинейным уравнением Фредгольма первого рода, при решении которого использованы сплайн-коллокационный метод со сплайнами нулевого и первого порядков и обобщение непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений. Приведены модельные примеры восстановления одномерных и двумерных сигналов. Исследована точность восстановления сигнала при различных возмущениях во входных сигналах и в вычислительных схемах. Оценены абсолютные и относительные значения выбросов на переднем и заднем фронтах сигналов. Рассмотрены способы подавления эффекта Гиббса. Предложенный метод можно применять в оптике, астрофизике, биологии, медицине.

A two-stage approximate method for reconstructing the phase of the signal spectrum from the amplitude of the spectrum is proposed. At the first stage, the signal is reconstructed by a numerical method (in one-dimensional and two-dimensional cases) from the known modulus of the spectrum; at the second stage, the spectrum of the reconstructed signal is determined and the phase of the spectrum is calculated. Signal recovery from a known modulus of the spectrum is modeled by a nonlinear Fredholm equation of the first kind, which is solved using the spline-collocation method with splines of zero and first orders and a generalization of the continuous method for solving nonlinear operator equations. Model examples of restoration of one-dimensional and two-dimensional signals are given. The accuracy of signal reconstruction under various perturbations in the input signals and in computational circuits has been studied. The absolute and relative values of spikes at the leading and trailing edges of the signals are estimated. Methods for suppressing the Gibbs effect are considered. The proposed method can be used in optics, astrophysics, biology, and medicine.

восстановление сигналаамплитудно-фазовая проблеманелинейное уравнение Фредгольма первого родаметод регуляризациинепрерывный метод решения операторных уравненийsignal recoveryamplitude-phase problemnonlinear Fredholm integral equation of the first kindregularization methodcontinuous method for solving operator equationsРабота выполнена при поддержке Пензенского государственного университета (конкурс исследовательских проектов «Ректорские гранты», договор № ХП-221/22 от 31.03.2022).the work was supported by Penza State University (competition of research projects “Rector's grants” under Grant no. ХП-221/22 on 31.03.2022).ReferencesBoikov I., Zelina Y., Vasyunin D., Proceedings Moscow Workshop on Electronic and Networking Technologies, MWENT 2020, Moscow, 11–13 Marth 2020, IEEE, 2020, pp. 1–5, 9067415. https://doi.org/10.1109/MWENT47943.2020.9067415Boikov I., Zelina Y., Vasyunin D., 2020 Moscow Workshop on Electronic and Networking Technologies (MWENT), Proceedings of the International Conference, Moscow, Russia, 2020, March 11–13, IEEE, 2020, pp. 1–5, 9067415. https://doi.org/10.1109/MWENT47943.2020.9067415Бойков И. В., Зелина Я. В. Приближённые методы решения амплитудно-фазовой проблемы для непрерывных сигналов // Измерительная техника. 2021. № 5. С. 37–46. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2021-5-37-46Boikov I. V., Zelina Ya. V., Measurement Techniques, 2021, vol. 64, no.5, pp. 386–397. https://doi.org/10.1007/s11018-021-01944-yBoikov I. V., Zelina Ya. V., Vasyunin D. I., Journal of Physics: Conference Series, 2021, no. 2099, 012002. https://doi.org/10.1088/1742-6596/2099/1/012002Boikov I. V., Zelina Ya. V., Vasyunin D. I., Journal of Physics: Conference Series, 2021, no. 2099, 012002. https://doi.org/10.1088/1742-6596/2099/1/012002Wolf E., Physics Letters A, 2010, vol. 374, no. 3, pp. 491– 495. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2009.10.074Wolf E., Physics Letters A, 2010, vol. 374, no. 3, pp. 491–495. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2009.10.074Wolf E., Advances in Imaging and Electron Physics, 2011, vol. 165, pp. 283–325. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-385861-0.00007-5Wolf E., Advances in Imaging and Electron Physics, 2011, vol. 165, pp. 283–325. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-385861-0.00007-5Потапов А. А., Гуляев Ю. В., Никитов С. А., Пахомов А. А., Герман В. А. Новейшие методы обработки изображений. М.: Физматлит, 2008. 496 с.Potapov A. A., Gulyaev Yu. V., Nikitov S. A., Pakhomov A. A., German V. A., Noveishie metody obrabotki izobrazhenii [Latest Image Processing Techniques], Moscow, Fizmatlit Publ., 2008, 496 p. (In Russ.)Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1974. 224 с.Tikhonov A. N., Arsenin V. Ja., Metodi reseniy nekorrektnykh zadach, Moscow, Nauka Publ., 1974, 224 p. (In Russ.)Бойков И. В. Об одном непрерывном методе решения нелинейных операторных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48. № 9. С. 1308–1314.Boikov I. V., Differential Equations, 2012, vol. 48, iss. 9, pp. 1288–1295. https://doi.org/10.1134/S001226611209008XДалецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 534 с.Daletskii Yu. L., Krein M. G., Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, Translations of Mathematical Monographs, Reprinted edition, 1974, vol. 43. https://doi.org/10.1090/mmono/043Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов РунгеКутты для жёстких нелинейных дифференциальных уравнений: пер. с англ. А. Ю. Захарова и др. / Под ред. А. А. Самарского. М.: Мир, 1988. 332 с.Dekker K., Verwer J. G., Stability of Runge-Kutta Methods for Stiff Nonlinear Differential Equations, CWI Monographs 2, North-Holland, Amsterdam, 1984.Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука. 1984. 752 с.Kantorovich L. V., Akilov G. P., Funktsional’nyi analiz, Moscow, Nauka Publ., 1984. 752 p. (In Russ.)Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Бином. Лаборатория знаний. 2011. 640 с.Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobel’kov G. M., Chislennye metody, Moscow, Binom. Laboratoriya znanii Publ., 2011, 640 p. (In Russ.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.