izmertechИзмерительная техникаIzmeritel`naya Tekhnika0368-10252949-5237ФГУП "ВНИИФТРИ"10.32446/0368-1025it.2023-4-11-17izmertech-1590Research ArticleОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТРОЛОГИИ И ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИGENERAL PROBLEMS OF METROLOGY AND MEASUREMENT TECHNIQUESМодификация непараметрической методики проверки гипотезы о распределениях случайных величинModifi cation of a nonparametric method for testing the hypothesis of distributions of random variableshttps://orcid.org/0000-0002-0664-3870ЛапкоА. В.LapkoA. V.

Александр Васильевич Лапко

Красноярск

Aleksandr V. Lapko

Krasnoyarsk

lapko@icm.krasn.ruhttps://orcid.org/0000-0001-6938-9323ЛапкоВ. А.LapkoV. A.

Василий Александрович Лапко

Красноярск

Vasiliy A. Lapko

Krasnoyarsk

Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук; Сибирский государственный университет науки и технологий им. акад. М. Ф. РешетнёваРоссияInstitute of Computational Modelling of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Institute of Computational Modelling of the Siberian Branch of the Russian Academy of SciencesRussian FederationИнститут вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук; Сибирский государственный университет науки и технологий им. акад. М. Ф. РешетнёваРоссияInstitute of Computational Modelling of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Reshetnev Siberian State University of Science and TechnologyRussian Federation202307052023041117Copyright © ФГУП "ВНИИФТРИ", 20232023ФГУП "ВНИИФТРИ"ФГУП "ВНИИФТРИ"https://www.izmt.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://www.izmt.ru/jour/article/view/1590

Для повышения вычислительной эффективности решения задачи проверки гипотезы о распределениях случайных величин предложена модифицированная методика проверки. Методика основана на определении максимального расхождения между оценками функций распределения сравниваемых случайных величин и дальнейших вычислении и анализе доверительных интервалов для найденных значений функций распределения. Гипотеза о тождественности законов распределения подтверждается, если полученные доверительные интервалы при заданном уровне значимости пересекаются. По результатам вычислительных экспериментов сравнены критерии Колмогорова-Смирнова, Пирсона при использовании формул дискретизации интервалов значений случайных величин Старджесса, Хайнхольда-Гаеде и модифицированного метода. Рассмотрены парные сочетания законов распределения случайных величин: равномерного, нормального, логнормального и степенного. Установлены условия компетенций сравниваемых критериев проверки гипотез о распределениях случайных величин. Показано, что модифицированный метод можно обобщить на случай проверки гипотезы о распределениях многомерных случайных величин. В отличие от критерия согласия Пирсона предложенная модифицированная методика позволяет обойти проблему декомпозиции области значений случайных величин на многомерные интервалы.

To improve the computational effi ciency of solving the problem of testing the hypothesis about the distributions of random variables, a modifi ed testing technique is proposed. The technique is based on determining the maximum discrepancy between the estimates of the distribution functions of the compared random variables and further calculation and analysis of confi dence intervals for the found values of the distribution functions. The hypothesis about the identity of the distribution laws is confi rmed if the obtained confi dence intervals at a given level of signifi cance intersect. Based on the results of computational experiments, the Kolmogorov-Smirnov, Pearson criteria are compared using the formulas for sampling the intervals of values of random variables of Sturges, Heinhold-Gaede, and the modifi ed method. Paired combinations of random variable distribution laws are considered: uniform, Gaussian, lognormal and power law. Competence conditions for the compared criteria for testing hypotheses about the distributions of random variables are established. The modifi ed method allows its generalization to test the hypothesis of distributions of multidimensional random variables. In contrast to the Pearson criterion, the proposed technique allows to bypass the problem of decomposition of the range of values of random variables into multidimensional intervals.

проверка гипотезраспределения одномерных случайных величинкритерий Колмогорова-Смирновакритерий Пирсонамодифицированный метод проверки гипотездоверительные интервалыформула Старджессаформула Хайнхольда-Гаедеhypothesis testingdistributions of one-dimensional random variablesKolmogorov-Smirnov criterionPearson criterionmodifi ed hypothesis testing methodconfi dence intervalsSturges ruleHeinhold-Gaede ruleReferencesЗеньков И. В., Лапко А. В., Лапко В. А., Кирюшина Е. В., Вокин В. Н. Непараметрический алгоритм распознавания образов в задаче проверки гипотезы о независимости случайных величин // Компьютерная оптика. 2021. Т. 45. № 5. С. 767–772. https://doi.org/10.18287/2412-6179-CO-871Zenkov I. V., Lapko A. V., Lapko V. A., Kiryushina E. V., Vokin V. N. Computer Optics, 2021, vol. 45, no 5, pp. 767–772. (In Russ.) https://doi.org/10.18287/2412-6179-CO-871Зеньков И. В., Лапко А. В., Лапко В. А., Кирюшина Е. В., Вокин В. Н., Бахтина А. В. Методика последовательного формирования набора компонент многомерной случайной величины с использованием непараметрического алгоритма распознавания образов // Компьютерная оптика. 2021. Т. 45 № 6. С. 926–933. https://doi.org/10.18287/2412-6179-CO-902Zenkov I. V., Lapko A. V., Lapko V. A., Kiryushina E. V., Vokin V. N., Bakhtina A. V. Computer Optics, 2021, vol. 45. no. 6, pp. 926– 933. (In Russ.) https://doi.org/10.18287/2412-6179-CO-902Лапко А. В., Лапко В. А., Бахтина А. В. Исследование методики проверки гипотезы о независимости двухмерных случайных величин с использованием непараметрического классификатора // Автометрия. 2021. Т. 57. № 6. С. 90–100. https://doi.org/10.15372/AUT20210610Lapko A. V., Lapko V. A., Bakhtina A. V. Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 2022, vol. 57, no. 6, pp. 639–648. https://doi.org/10.3103/S8756699021060078Лапко А. В., Лапко В. А., Бахтина А. В. Применение непараметрического алгоритма распознавания образов в задаче проверки гипотезы о независимости переменных неоднозначных функций // Измерительная техника. 2022. № 1. С. 17–22. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2022-01-17-22Lapko A. V., Lapko V. A., Bakhtina A. V. Measurement Techniques, 2022, vol. 65, no. 1, pp. 17–23. https://doi.org/10.1007/s11018-022-02043-2Зеньков И. В., Им С. Т., Лапко А. В., Лапко В. А., Музалевский К. В., Охоткина Е. А., Ружечка З. З., Харук В. И., Юронен Ю. П. Развитие и применение информационных технологий исследования природных ресурсов территорий Сибири на основе данных дистанционного зондирования. Красноярск: СибГАУ, 2017. 280 с.Zenkov I. V., Im S. T., Lapko A. V., Lapko V. A., Muzalevsky K. V., Okhotkina E. A., Ruzhechka Z. Z., Haruk V. I., Yuronen Yu. P. Razvitie i primenenie informacionnyh tekhnologij issledovaniya prirodnyh resursov territorij Sibiri na osnove dannyh distancionnogo zondirovaniya [Development and application of information technologies for the study of natural resources of Siberian territories based on remote sensing data], Krasnoyarsk, SibGAU Publ., 2017, 280 p. (In Russ.)Kolmogoroff A. N. Sulla determinazione empirica di una legge di distribuzione. Giornale dell` Istituto Italiano degly Attuari, 1933, vol. 4, no. 1, рр. 83–91. (In Ital.)Kolmogoroff A. N. Sulla determinazione empirica di una legge di distribuzione, Giornale dell` Istituto Italiano degly Attuari, 1933, vol. 4, no. 1, pp. 83–91. (In Ital.)Большев Л. Н. Асимптотические пирсоновские преобразования // Теория вероятностей и её применения. 1963. Т. 8. № 2. С. 129–155.Bol’shev L. N. Theory of Probability & Its Applications, 1963, vol. 8, no. 2, pp. 129–155. https://doi.org/10.1137/1108012Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983. 416 с.Bol’shev L. N., Smirnov N. V. Tablicy matematicheskoj statistiki [Tables of mathematical statistics], Moscow, Nauka Publ., 1983, 416 p. (In Russ.)Marozzi M. Journal of Nonparametric Statistics, 2009, vol. 21, no. 5, рр. 629–647. https://doi.org/10.1080/10485250902952435Marozzi M. Journal of Nonparametric Statistics, 2009, vol. 21, no. 5, рр. 629–647. https://doi.org/10.1080/10485250902952435Marozzi M. Communications in Statistics Simula tion and Computation, 2013, vol. 42, no. 6, рр. 1298–1317. https://doi.org/10.1080/03610918.2012.665546Marozzi M. Communications in Statistics Simulation and Computation, 2013, vol. 42, no. 6, рр. 1298–1317. https://doi.org/10.1080/03610918.2012.665546Justel A., Peña D., Zamar R. Statistics & Probability Letters, 1997, vol. 35, no. 3, рр. 251–259. https://doi.org/10.1016/S0167-7152(97)00020-5Justel A., Peña D., Zamar R. Statistics & Probability Letters, 1997, vol. 35, no. 3, рр. 251–259. https://doi.org/10.1016/S0167-7152(97)00020-5Peacock J.A. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1983, vol. 202, no. 3, рр. 615–627. https://doi.org/10.1093/mnras/202.3.615Peacock J. A. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1983, vol. 202, no. 3, рр. 615–627. https://doi.org/10.1093/mnras/202.3.615Gosset E. A three-dimensional extended Kolmogorov-Smirnov test as a useful tool in astronomy. Astronomy and Astrophysics, 1987, vol. 188, no. 1, рр. 258–264.Gosset E. A three-dimensional extended Kolmogorov-Smirnov test as a useful tool in astronomy. Astronomy and Astrophysics, 1987, vol. 188, no. 1, рр. 258–264.Fasano G., Franceschini A. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1987, vol. 225, рр. 155–170. https://doi.org/10.1093/mnras/225.1.155Fasano G., Franceschini A. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1987, vol. 225, рр. 155–170. https://doi.org/10.1093/mnras/225.1.155Пугачёв В. С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие. М.: Физматлит, 2002. 496 с.Pugachev V. S. Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika [Probability theory and mathematical statistics], Moscow, Fizmatlit Publ., 2002, 496 p. (In Russ.)Лапко А. В., Лапко В. А. Непараметрические алгоритмы распознавания образов в задаче проверки статистической гипотезы о тождественности двух законов распределения случайных величин // Автометрия. 2010. Т. 46. № 6. С. 47-53.Lapko A. V., Lapko V. A. Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 2010, vol. 46, no. 6, pp. 545–550. https://doi.org/10.3103/S8756699011060069Sturgess H. A. Journal of the American Statistical Association, 1926, vol. 21, рр. 65–66. https://doi.org/10.1080/01621459.1926.10502161Sturgess H. A. Journal of the American Statistical Association, 1926, vol. 21, рр. 65–66. https://doi.org/10.1080/01621459.1926.10502161Heinhold I., Gaede K. W. Ingenieur -Statistik. München, Wien, Springler Verlag, 1964, 352 p. (In German)Heinhold I., Gaede K. W. Ingenieur-Statistik. München, Wien, Springler Verlag, 1964, 352 p. (In German)Лемешко Б. Ю., Чимитова Е. В. О выборе числа интервалов в критериях согласия типа χ2 // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2003. Т. 69. № 1. С. 61–67.Lemeshko B. Yu., Chimitova E. V. On the selection of the number of intervals in the criteria of agreement of type χ2. Industrial Laboratory. Diagnostics of Materials, 2003, vol. 69, no. 1, pp. 61–67. (In Russ.)Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. О зависимости предельных распределений статистик χ2 Пирсона и отношения правдоподобия от способа группирования данных // Заводская лаборатория. 1998. Т. 64. № 5. С. 56–63.Lemeshko B. Yu., Postovalov S. N. On the dependence of the marginal distributions of Pearson statistics χ2 and the likelihood ratio on the data grouping method. Industrial Laboratory. Diagnostics of Materials, 1998, vol. 64, no. 5, pp. 56–63. (In Russ.)Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1999. 479 с.Gmurman V. E. Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika [Probability theory and mathematical statistics]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1999, 479 p. (In Russ.)Петров Ю. В., Аникин С. Н., Юхно С. А. Моделирование случайных величин. СПб.: Балтийский государственный технический университет, 2020. 90 с.Petrov Yu. V., Anikin S. N., Yukhno S. A., Modeling of random variables. St. Petersburg, Baltiyskiy gosudarstvennyy tekhnicheskiy universitet Publ., 2020, 90 p. (In Russ.)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.