Рустам Зиннатуллович Хайруллин
Москва;
Мытищи, Московская обл.
Rustam Z. Khayrullin
Moscow,
Mytischy, Moscow region
Разработанмногошаговыйалгоритмнаосновебайесовскогоподходакпостроениюэффективных статистических оценок результатов измерений. Представлена общая логическая схема многошагового алгоритма, позволяющая строить обобщённые байесовские оценки с использованием смеси априорного и апостериорного распределений при неоднородности априорных и апостериорных данных. Сформулированы условия существования сопряжённого семейства априорных распределений. Описана методика расчёта конкретных значений параметров сопряжённых априорных распределений.Подробно изложен байесовский подход применительно к биномиальному и отрицательно-биномиальному законам распределения. С использованием функции правдоподобия получены формулы пересчёта параметров соответствующего сопряжённого закона распределения, необходимые для пошаговых переходов в многошаговом алгоритме. Приведены примеры применения алгоритма для оценки соответствия измерительных систем заданным требованиям, а также для обработки результатов количественного физико-химического анализа. Представленные результаты показывают, что байесовский подход даёт существенный выигрыш по сравнению с методом максимального правдоподобия в точности построения статистических оценок при небольших и средних объёмах выборок. Указанное обстоятельство делает байесовский подход особенно эффективным для оценки метрологических характеристик измерительных систем в случае, когда многократное повторение испытаний нецелесообразно или трудоёмко. На конкретных примерах проиллюстрировано, что при увеличении объёма и количества выборок результаты многошагового байесовского подхода и классического метода максимального правдоподобия будут идентичными.
A multi-step algorithm based on the Bayesian approach to constructing effective statistical estimates of measurement results has been developed. A general logical scheme of a multi-step algorithm is presented, which allows, in the case of heterogeneity of a priori and a posteriori data, to build generalized Bayesian estimates based on the use of a mixture of a priori and a posteriori distributions. Conditions for the existence of a conjugate family of a priori distributions are formulated. A technique for calculating specific values of parameters in conjugate a priori distributions is described. The technology for applying the Bayesian approach is described in more detail for the binomial and negative-binomial distribution laws. Using the likelihood function, formulas for recalculating the parameters of the corresponding conjugate distribution law are obtained, which allow one to pass from the next step to the next step of the multi-step algorithm. Examples of applying the algorithm to the problem of assessing the compliance of measuring systems with specified requirements, as well as to the problem of processing the results of quantitative physical and chemical analysis are given. The presented results show that the Bayesian approach gives a significant gain in the accuracy of constructing statistical estimates for small and medium sample sizes. This circumstance makes the Bayesian approach particularly effective in the problems of assessing the metrological characteristics of measuring systems in the case when repeated repetition of tests is inexpedient or time consuming. On specific examples, it is illustrated that with an increase in the volume and number of samples, the multi-step Bayesian approach and the classical maximum likelihood method will give identical results.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.